Для решения этой задачи начнем с того, что в прямоугольном треугольнике ABC высота CD делит треугольник на два меньших треугольника: ADC и DBC. Обозначим площади этих треугольников как S_ADC и S_DBC.

По условию задачи известно, что площадь треугольника DBC в 3 раза больше площади треугольника ADC. Это можно записать следующим образом:

Обозначим площадь треугольника ADC как S. Тогда площадь DBC будет равна 3S:

• S_ADC = S
• S_DBC = 3S

Теперь, общая площадь треугольника ABC будет равна сумме площадей треугольников ADC и DBC:

Теперь давайте рассмотрим формулы для площадей треугольников. Площадь треугольника может быть найдена по формуле:

В нашем случае, для треугольника ADC основание будет отрезок AC, а высота будет равна CD. Для треугольника DBC основание будет отрезок BC, а высота также равна CD. Таким образом, можем записать:

• S_ADC = (1/2) * AC * CD
• S_DBC = (1/2) * BC * CD

Теперь подставим эти выражения в уравнение площадей:

Упростим уравнение, сократив (1/2) * CD (при условии, что CD не равно 0):

Теперь мы знаем, что длина стороны BC в 3 раза больше длины стороны AC. Рассмотрим углы треугольника ABC. Обозначим угол A как α, угол B как β, а угол C (прямой) равен 90 градусов.

Согласно свойствам треугольников, можем использовать тангенсы углов:

• tan(α) = CD / AC
• tan(β) = CD / BC

Подставим BC = 3AC в выражение для тангенса угла β:

Теперь, чтобы выразить углы через их тангенсы, используем соотношение:

Из этого соотношения видно, что угол β в 3 раза меньше угла α. Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, мы можем записать:

Отсюда следует:

Подставим β = (1/3) * α:

Сложим:

Теперь найдем угол α:

Теперь можем найти угол β:

Таким образом, мы нашли углы треугольника ABC:

• Угол A (α) = 67.5°
• Угол B (β) = 22.5°
• Угол C = 90°

Ответ: углы треугольника ABC равны 67.5°, 22.5° и 90°.