В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла опущена высота на гипотенузу. Как можно определить длины отрезков, на которые делится гипотенуза, если её длина составляет 17, а высота равна 4?

Геометрия 10 класс Высота в прямоугольном треугольнике прямоугольный треугольник высота гипотенуза длина отрезков геометрия задачи по геометрии свойства треугольников решение задач математические формулы длина гипотенузы Новый

Для решения задачи мы воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и некоторыми теоремами о высоте, опущенной на гипотенузу.

Обозначим:

• гипотенуза - AB = 17;
• высота, опущенная из вершины прямого угла - CH = 4;
• отрезок AH = x;
• отрезок BH = y.

Сначала заметим, что в прямоугольном треугольнике, где высота опущена на гипотенузу, выполняется следующее соотношение:

Площадь треугольника можно выразить двумя способами:

1. С помощью гипотенузы и высоты: P = (AB * CH) / 2 = (17 * 4) / 2 = 34.
2. С помощью оснований (отрезков AH и BH): P = (AH * BH) / 2 = (x * y) / 2.

Так как площади равны, мы можем записать уравнение:

(x * y) / 2 = 34.

Умножив обе стороны на 2, получаем:

x * y = 68.

Теперь у нас есть два уравнения:

1. x + y = 17;
2. xy = 68.

Теперь выразим y через x из первого уравнения:

y = 17 - x.

Подставим это значение во второе уравнение:

x * (17 - x) = 68.

Раскроем скобки:

17x - x^2 = 68.

Перепишем уравнение в стандартной форме:

x^2 - 17x + 68 = 0.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 * 1 * 68 = 289 - 272 = 17.

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два решения:

x1 = (17 + sqrt(17)) / 2, x2 = (17 - sqrt(17)) / 2.

Теперь мы можем найти значения x и y:

x1 + y1 = 17, x2 + y2 = 17.

Таким образом, длины отрезков на гипотенузе будут:

• AH = x1, BH = y1;
• или AH = x2, BH = y2.

Теперь подставим значения и вычислим:

x1 = (17 + sqrt(17)) / 2, y1 = (17 - sqrt(17)) / 2;

или

x2 = (17 - sqrt(17)) / 2, y2 = (17 + sqrt(17)) / 2.

Таким образом, мы нашли длины отрезков AH и BH, на которые делится гипотенуза.