В прямоугольном треугольнике, где катеты равны 3 см и 4 см, если сначала вращать его вокруг большего катета, а затем - вокруг меньшего, как можно сравнить площади боковых поверхностей образующихся конусов?

Геометрия 10 класс Вращение фигур в пространстве прямоугольный треугольник катеты площади боковых поверхностей конусы вращение треугольника Новый

Чтобы сравнить площади боковых поверхностей конусов, образующихся при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катетов, давайте сначала определим необходимые параметры.

У нас есть прямоугольный треугольник с катетами:

• a = 3 см (меньший катет)
• b = 4 см (больший катет)

Теперь мы будем рассматривать два случая вращения:

1. Вращение вокруг большего катета (b = 4 см):
• При вращении треугольника вокруг большего катета образуется конус, где:
• Высота (h) конуса равна длине меньшего катета (a = 3 см).
• Радиус (r) конуса равен длине большего катета (b = 4 см).
• Формула для вычисления площади боковой поверхности конуса:
• Площадь = π * r * l, где l - образующая конуса.
• Чтобы найти l, используем теорему Пифагора:
• l = √(r² + h²) = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5 см.
• Теперь можем найти площадь боковой поверхности:
• Площадь = π * 4 * 5 = 20π см².
2. Вращение вокруг меньшего катета (a = 3 см):
• При вращении треугольника вокруг меньшего катета образуется конус, где:
• Высота (h) конуса равна длине большего катета (b = 4 см).
• Радиус (r) конуса равен длине меньшего катета (a = 3 см).
• Снова используем формулу для вычисления площади боковой поверхности:
• Площадь = π * r * l.
• Находим l с помощью теоремы Пифагора:
• l = √(r² + h²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 см.
• Теперь можем найти площадь боковой поверхности:
• Площадь = π * 3 * 5 = 15π см².

Сравнение площадей:

• Площадь боковой поверхности конуса, образованного при вращении вокруг большего катета = 20π см².
• Площадь боковой поверхности конуса, образованного при вращении вокруг меньшего катета = 15π см².

Таким образом, мы можем сделать вывод, что площадь боковой поверхности конуса, образованного при вращении вокруг большего катета, больше площади боковой поверхности конуса, образованного при вращении вокруг меньшего катета. То есть:

20π см² > 15π см².