В прямоугольном треугольнике с катетами 3 см и 4 см, какие геометрические тела образуются при вращении вокруг большего катета и при вращении вокруг меньшего катета? Также, каковы площади боковых поверхностей этих тел и как они соотносятся друг с другом?

Геометрия 10 класс Вращательные тела прямоугольный треугольник катеты 3 см 4 см вращение вокруг катета геометрические тела площади боковых поверхностей соотношение площадей объем тел вращения Новый

Давайте разберем данную задачу шаг за шагом.

У нас есть прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см. Мы будем рассматривать два случая: вращение вокруг большего катета (4 см) и вращение вокруг меньшего катета (3 см).

1. Вращение вокруг большего катета (4 см):

• При вращении треугольника вокруг большего катета (4 см) образуется конус.
• Высота конуса будет равна длине меньшего катета (3 см).
• Радиус основания конуса будет равен длине меньшего катета (3 см).

Формулы для нахождения площади боковой поверхности конуса:

• Площадь боковой поверхности конуса S = π * r * l, где r - радиус основания, l - образующая конуса.
• Сначала найдем образующую конуса (l). Она вычисляется по теореме Пифагора: l = √(r² + h²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 см.
• Теперь подставим значения в формулу: S = π * 3 * 5 = 15π см².

2. Вращение вокруг меньшего катета (3 см):

• При вращении треугольника вокруг меньшего катета (3 см) также образуется конус.
• Высота конуса будет равна длине большего катета (4 см).
• Радиус основания конуса будет равен длине большего катета (4 см).

Формулы для нахождения площади боковой поверхности конуса:

• Площадь боковой поверхности S = π * r * l, где r - радиус основания, l - образующая конуса.
• Сначала найдем образующую конуса (l). Она вычисляется по теореме Пифагора: l = √(r² + h²) = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5 см.
• Теперь подставим значения в формулу: S = π * 4 * 5 = 20π см².

Сравнение площадей боковых поверхностей:

• Площадь боковой поверхности конуса, образованного при вращении вокруг большего катета: 15π см².
• Площадь боковой поверхности конуса, образованного при вращении вокруг меньшего катета: 20π см².
• Таким образом, площадь боковой поверхности конуса, образованного при вращении вокруг меньшего катета, больше на 5π см² по сравнению с площадью боковой поверхности конуса, образованного при вращении вокруг большего катета.

В заключение, мы получили два конуса с различными площадями боковых поверхностей: 15π см² и 20π см². Это позволяет нам видеть, как соотношение оснований и высот влияет на площади боковых поверхностей конусов.