В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие на катетах. Как определить стороны прямоугольника, если известно, что они относятся, как 5:2, а гипотенуза треугольника равна 45 см?

Геометрия 10 класс Вписанные фигуры в треугольник равнобедренный треугольник вписанный прямоугольник стороны прямоугольника гипотенуза 45 см отношение сторон 5:2 Новый

Для решения данной задачи начнем с того, что у нас есть равнобедренный прямоугольный треугольник, в который вписан прямоугольник. Обозначим стороны прямоугольника, которые относятся как 5:2, как 5x и 2x, где x — это некая положительная величина.

Так как треугольник равнобедренный и прямоугольный, его катеты равны. Обозначим длину каждого катета как a. По теореме Пифагора, гипотенуза треугольника будет равна:

c = a√2

Мы знаем, что гипотенуза равна 45 см, значит:

a√2 = 45

Теперь найдем длину катета a:

1. Разделим обе стороны уравнения на √2:
a = 45/√2
2. Упростим это выражение:
a = 45√2/2 = 22.5√2

Теперь, чтобы найти стороны прямоугольника, мы воспользуемся свойствами вписанного прямоугольника. Обозначим высоту прямоугольника, проведенную из вершины треугольника, как h. Поскольку прямоугольник вписан в треугольник, мы можем записать:

h + (2x) = a

Также, поскольку прямоугольник вписан, его ширина и высота будут связаны с катетами:

h + (5x) = a

Теперь у нас есть система уравнений:

• h + 2x = a
• h + 5x = a

Вычтем первое уравнение из второго:

(h + 5x) - (h + 2x) = 0

Это упрощается до:

3x = 0

Это уравнение не дает нам информации о x, поэтому мы можем использовать соотношение сторон. Мы знаем, что:

5x + 2x = a

Таким образом:

7x = a

Теперь подставим значение a:

7x = 22.5√2

Отсюда находим x:

x = (22.5√2)/7

Теперь можем найти стороны прямоугольника:

• Длина (5x) = 5 * (22.5√2)/7 = (112.5√2)/7 см
• Ширина (2x) = 2 * (22.5√2)/7 = (45√2)/7 см

Таким образом, стороны прямоугольника, вписанного в равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 45 см, составляют:

Длина: (112.5√2)/7 см, Ширина: (45√2)/7 см.