В треугольнике ABC со сторонами AB = 10 см, BC = 12 см и AC = 5 см вписана окружность, которая касается стороны AB в точке S, стороны BC в точке T и стороны AC в точке R. Каковы длины отрезков BS, CT и AR?

Геометрия 10 класс Вписанная окружность треугольника треугольник ABC вписанная окружность длины отрезков стороны треугольника геометрия 10 класс Новый

Чтобы найти длины отрезков BS, CT и AR, нам нужно использовать свойство вписанной окружности треугольника. Вписанная окружность касается сторон треугольника в точках, которые делят стороны на отрезки, длины которых равны. Обозначим:

• BS = x
• CT = y
• AR = z

Согласно свойству вписанной окружности, сумма длин отрезков, которые касаются одной стороны, равна длине этой стороны. Таким образом, мы можем записать следующие уравнения:

1. AB = AS + BS = z + x
2. BC = BT + CT = x + y
3. AC = AR + CR = z + y

Теперь подставим известные значения сторон треугольника:

• AB = 10 см
• BC = 12 см
• AC = 5 см

Теперь у нас есть система уравнений:

1. z + x = 10
2. x + y = 12
3. z + y = 5

Теперь решим эту систему уравнений. Из первого уравнения выразим z:

z = 10 - x

Подставим это значение во второе и третье уравнения:

1. x + y = 12
2. (10 - x) + y = 5

Теперь упростим второе уравнение:

10 - x + y = 5

Переносим 10 в правую часть:

y - x = -5

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. x + y = 12
2. y - x = -5

Теперь выразим y из второго уравнения:

y = x - 5

Подставим это значение в первое уравнение:

x + (x - 5) = 12

Упрощаем:

2x - 5 = 12

Добавляем 5 к обеим частям:

2x = 17

Делим обе стороны на 2:

x = 8.5

Теперь подставим значение x в уравнение для y:

y = 8.5 - 5 = 3.5

Теперь подставим x в уравнение для z:

z = 10 - 8.5 = 1.5

Таким образом, мы нашли длины отрезков:

• BS = x = 8.5 см
• CT = y = 3.5 см
• AR = z = 1.5 см

Ответ: длины отрезков BS, CT и AR равны 8.5 см, 3.5 см и 1.5 см соответственно.