Для доказательства того, что середина стороны AB равноудалена от точек A₁ и B₁, мы можем воспользоваться свойствами высот и средней линии треугольника. Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Обозначим середину стороны AB: Пусть M – середина отрезка AB. Это значит, что AM = MB.
2. Рассмотрим треугольники: У нас есть треугольник ABC, в котором проведены высоты AA₁ и BB₁. Высота AA₁ перпендикулярна стороне BC, а высота BB₁ перпендикулярна стороне AC.
3. Проведем перпендикуляры: Поскольку AA₁ и BB₁ являются высотами, то точки A₁ и B₁ находятся на стороне BC и AC соответственно. Это означает, что отрезки AA₁ и BB₁ являются перпендикулярными к соответствующим сторонам.
4. Используем свойства равных отрезков: Поскольку M – середина AB, то AM = MB. Также, так как AA₁ и BB₁ – высоты, то треугольники AMA₁ и BMB₁ являются прямоугольными.
5. Сравним расстояния: Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения расстояний от точки M до точек A₁ и B₁. Поскольку M – середина, то расстояние MA₁ и MB₁ можно выразить через AM и BM.
6. Доказательство равенства: В результате мы получим, что MA₁ = MB₁, так как M равноудалено от обеих высот, что и требовалось доказать.

Таким образом, мы показали, что середина стороны AB (точка M) равноудалена от точек A₁ и B₁. Это свойство является следствием симметрии и перпендикулярности высот в треугольнике.