Чтобы доказать, что сумма внешних углов выпуклого n-угольника равна 360°, давайте разберем это шаг за шагом.

Внешним углом многоугольника называется угол, образованный одной из его сторон и продолжением соседней стороны. Например, если у нас есть выпуклый n-угольник ABCDE... , то внешний угол при вершине A будет образован стороной AB и продолжением стороны BC.

Для каждого внешнего угла существует соответствующий внутренний угол. Эти углы являются смежными, то есть сумма внутреннего и внешнего угла при одной вершине равна 180°. Например, если внутренний угол при вершине A равен α, то внешний угол будет равен 180° - α.

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле:

• Сумма внутренних углов = (n - 2) * 180°.

Теперь давайте рассмотрим все внешние углы. Если мы сложим все внешние углы, то мы можем выразить их через внутренние углы:

• Сумма внешних углов = (180° - α1) + (180° - α2) + ... + (180° - αn),
• где α1, α2, ..., αn - внутренние углы при вершинах 1, 2, ..., n соответственно.

Теперь упростим это выражение:

• Сумма внешних углов = 180n - (α1 + α2 + ... + αn).

Мы знаем, что сумма внутренних углов (α1 + α2 + ... + αn) равна (n - 2) * 180°.

• Подставляем это в уравнение: Сумма внешних углов = 180n - (n - 2) * 180°.

Теперь упростим это:

• Сумма внешних углов = 180n - (180n - 360) = 360°.

Таким образом, мы доказали, что сумма внешних углов выпуклого n-угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.