Давайте решим оба задания по порядку.

Задача 1:

Дана правильная треугольная призма ABC A1B1C1, где все рёбра равны 1. Нам нужно найти угол между прямыми B1V и CA1.

1. Сначала определим координаты вершин призмы:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(0.5, √3/2, 0)
• A1(0, 0, 1)
• B1(1, 0, 1)
• C1(0.5, √3/2, 1)

2. Теперь найдем координаты точки V. Предположим, что точка V находится в плоскости ABC и делит отрезок AB пополам. Тогда V(0.5, 0, 0).

3. Теперь определим векторы B1V и CA1:

• Вектор B1V: B1V = V - B1 = (0.5 - 1, 0 - 0, 0 - 1) = (-0.5, 0, -1)
• Вектор CA1: CA1 = A1 - C = (0 - 0.5, 0 - √3/2, 1 - 0) = (-0.5, -√3/2, 1)

4. Теперь найдем угол между этими векторами, используя скалярное произведение:

Скалярное произведение векторов:

B1V · CA1 = (-0.5)(-0.5) + (0)(-√3/2) + (-1)(1) = 0.25 - 1 = -0.75

Далее, найдем длины векторов:

• |B1V| = √((-0.5)² + 0² + (-1)²) = √(0.25 + 0 + 1) = √1.25 = √(5/4) = √5 / 2
• |CA1| = √((-0.5)² + (-√3/2)² + 1²) = √(0.25 + 0.75 + 1) = √2

5. Теперь используем формулу для нахождения угла:

cos(θ) = (B1V · CA1) / (|B1V| * |CA1|)

cos(θ) = -0.75 / (√5 / 2 * √2) = -0.75 / (√10 / 2) = -1.5 / √10

6. Теперь находим угол θ:

θ = arccos(-1.5 / √10). Это значение можно найти с помощью калькулятора. Окончательный ответ будет примерно равен 143.13 градуса.

Ответ: 143.13 градуса.

Задача 2:

В правильной треугольной призме ABC A1B1C1 известно, что AA1 = √3 AB. Нам нужно найти угол между прямыми AB1 и CC1.

1. Обозначим AB = x. Тогда AA1 = √3 * x.

2. Определим координаты вершин:

• A(0, 0, 0)
• B(x, 0, 0)
• C(0.5x, (√3/2)x, 0)
• A1(0, 0, √3 * x)
• B1(x, 0, √3 * x)
• C1(0.5x, (√3/2)x, √3 * x)

3. Найдем векторы AB1 и CC1:

• Вектор AB1 = B1 - A = (x - 0, 0 - 0, √3 * x - 0) = (x, 0, √3 * x)
• Вектор CC1 = C1 - C = (0.5x - 0.5x, (√3/2)x - (√3/2)x, √3 * x - 0) = (0, 0, √3 * x)

4. Теперь найдем угол между этими векторами. Обратите внимание, что вектор CC1 направлен вдоль оси Z, а вектор AB1 имеет компоненты по оси Z и X.

5. Угол между векторами определяется как:

cos(θ) = (AB1 · CC1) / (|AB1| * |CC1|)

Скалярное произведение:

AB1 · CC1 = (x)(0) + (0)(0) + (√3 * x)(√3 * x) = 3x²

6. Длину векторов:

• |AB1| = √(x² + 0² + (√3 * x)²) = √(x² + 3x²) = √(4x²) = 2x
• |CC1| = √(0² + 0² + (√3 * x)²) = √(3x²) = √3 * x

7. Теперь подставим в формулу:

cos(θ) = (3x²) / (2x * √3 * x) = 3 / (2√3)

8. Теперь найдем угол θ:

θ = arccos(3 / (2√3)). Это значение также можно найти с помощью калькулятора. Окончательный ответ будет примерно равен 30 градусов.

Ответ: 30 градусов.