Давайте разберем оба задания по очереди.

Для начала вспомним, что такое правильная треугольная призма. Это трехмерная фигура, у которой основание — правильный треугольник, а боковые грани — прямоугольники. В нашем случае все рёбра равны 1.

Определим координаты вершин призмы:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(0.5, √3/2, 0)
• A1(0, 0, 1)
• B1(1, 0, 1)
• C1(0.5, √3/2, 1)

Теперь найдем векторы, соответствующие прямым АВ и СА1:

• Вектор AB = B - A = (1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0, 0)
• Вектор AC1 = C1 - A = (0.5, √3/2, 1) - (0, 0, 0) = (0.5, √3/2, 1)

Теперь используем формулу для нахождения угла между двумя векторами:

cos(φ) = (A·B) / (|A| * |B|),

где A·B — скалярное произведение векторов, |A| и |B| — их длины.

Сначала найдем скалярное произведение:

A·B = (1 * 0.5) + (0 * √3/2) + (0 * 1) = 0.5.

Теперь найдем длины векторов:

• |AB| = √(1^2 + 0^2 + 0^2) = 1
• |AC1| = √(0.5^2 + (√3/2)^2 + 1^2) = √(0.25 + 0.75 + 1) = √2.

Теперь подставим все в формулу:

cos(φ) = 0.5 / (1 * √2) = 0.5 / √2 = √2 / 4.

Теперь найдем угол φ:

φ = arccos(√2 / 4).

Угол между прямыми АВ и СА1 примерно равен 75 градусов.

Теперь перейдем ко второму вопросу. Мы знаем, что AA1 = 3AB. Поскольку все рёбра равны 1, то AA1 = 1, следовательно, 3AB = 1, и AB = 1/3.

Определим координаты вершин призмы с учетом этой информации:

• A(0, 0, 0)
• B(1/3, 0, 0)
• C(2/3, √3/6, 0)
• A1(0, 0, 1)
• B1(1/3, 0, 1)
• C1(2/3, √3/6, 1)

Теперь найдем векторы, соответствующие прямым АВ и СС1:

• Вектор AB = B - A = (1/3, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1/3, 0, 0)
• Вектор CS1 = C1 - C = (2/3, √3/6, 1) - (2/3, √3/6, 0) = (0, 0, 1).

Теперь снова используем формулу для нахождения угла между двумя векторами:

cos(φ) = (A·B) / (|A| * |B|).

Сначала найдем скалярное произведение:

A·B = (1/3 * 0) + (0 * 0) + (0 * 1) = 0.

Поскольку скалярное произведение равно 0, это значит, что угол между векторами равен 90 градусам.

Таким образом, угол между прямыми АВ и СС1 равен 90 градусов.