1. Косинус угла между прямыми АВ и СА₁ в кубе А...Д₁:

Рассмотрим куб, где вершины обозначены как A, B, C, D, A₁, B₁, C₁, D₁. Прямые АВ и СА₁ расположены следующим образом:

• Прямая АВ соединяет вершины A и B, которая лежит на одной грани куба.
• Прямая СА₁ соединяет вершину C и вершину A₁, которая проходит через центр куба.

Для нахождения косинуса угла между этими прямыми используем векторное представление. Обозначим:

• Вектор AB = B - A = (1, 0, 0) (если A(0, 0, 0) и B(1, 0, 0))
• Вектор CA₁ = A₁ - C = (0, 0, 1) - (0, 1, 0) = (0, -1, 1) (если C(0, 1, 0) и A₁(0, 0, 1))

Теперь находим косинус угла между векторами:

cos(θ) = (AB * CA₁) / (|AB| * |CA₁|),

где * - скалярное произведение, |AB| и |CA₁| - длины векторов.

Скалярное произведение AB * CA₁ = (1*0) + (0*-1) + (0*1) = 0.

Длину векторов находим:

• |AB| = √(1^2 + 0^2 + 0^2) = 1
• |CA₁| = √(0^2 + (-1)^2 + 1^2) = √2

Таким образом, cos(θ) = 0 / (1 * √2) = 0. Значит, угол между прямыми АВ и СА₁ равен 90 градусов.

2. Косинус угла между прямыми ВС и АЕ в правильном тетраэдре ABCD:

Рассмотрим тетраэдр ABCD, где точка E - середина ребра CD. Обозначим координаты:

• A(1, 1, 1), B(1, -1, -1), C(-1, -1, 1), D(-1, 1, -1).
• E = (C + D)/2 = (-1, 0, 0).

Теперь найдем векторы:

• Вектор BC = C - B = (-1, -1, 1) - (1, -1, -1) = (-2, 0, 2).
• Вектор AE = E - A = (-1, 0, 0) - (1, 1, 1) = (-2, -1, -1).

Теперь находим косинус угла:

cos(θ) = (BC * AE) / (|BC| * |AE|).

Скалярное произведение BC * AE = (-2)*(-2) + 0*(-1) + 2*(-1) = 4 - 2 = 2.

Длину векторов:

• |BC| = √((-2)^2 + 0^2 + 2^2) = √8 = 2√2.
• |AE| = √((-2)^2 + (-1)^2 + (-1)^2) = √6.

Таким образом, cos(θ) = 2 / (2√2 * √6) = 1 / (√12) = 1 / (2√3).

3. Косинус угла между прямыми АВ и СА₁ в правильной треугольной призме:

Рассмотрим призму АВСА₁В₁С₁, где все ребра равны 1. Обозначим координаты:

• A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(0.5, √3/2, 0), A₁(0, 0, 1).

Находим векторы:

• Вектор AB = (1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0, 0).
• Вектор CA₁ = A₁ - C = (0, 0, 1) - (0.5, √3/2, 0) = (-0.5, -√3/2, 1).

Теперь находим косинус угла:

cos(θ) = (AB * CA₁) / (|AB| * |CA₁|).

Скалярное произведение AB * CA₁ = (1)*(-0.5) + (0)*(-√3/2) + (0)*(1) = -0.5.

Длину векторов:

• |AB| = 1.
• |CA₁| = √((-0.5)^2 + (-√3/2)^2 + 1^2) = √(0.25 + 0.75 + 1) = √2.

Таким образом, cos(θ) = -0.5 / (1 * √2) = -1 / (2√2).

4. Тангенс угла между прямыми SB и АЕ в правильной четырехугольной пирамиде:

Рассмотрим пирамиду SABCD, где все ребра равны 1, и точка E - середина ребра SD. Обозначим координаты:

• S(0, 0, 1), A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(0, 1, 0), D(0, 0, -1).
• E = (S + D)/2 = (0, 0, 0).

Теперь найдем векторы:

• Вектор SB = B - S = (1, 0, 0) - (0, 0, 1) = (1, 0, -1).
• Вектор AE = E - A = (0, 0, 0) - (0, 0, 0) = (0, 0, 0).

Теперь находим тангенс угла:

tan(θ) = |SB| / |AE|.

Длину векторов:

• |SB| = √(1^2 + 0^2 + (-1)^2) = √2.
• |AE| = 0 (так как вектор нулевой).

Тангенс угла между SB и AE не определен, так как деление на ноль невозможно.