Через образующую цилиндра проведены две плоскости, угол между ними равен 120 градусов. Площади получившихся сечений равны 1, радиус основания цилиндра равен 1. Каков объем цилиндра?

Геометрия 11 класс Объём цилиндра и его сечения объём цилиндра сечения цилиндра Угол между плоскостями радиус основания цилиндра площадь сечений цилиндра Новый

Чтобы найти объем цилиндра, нам нужно использовать информацию о его радиусе и высоте. Давайте разберемся по шагам.

Шаг 1: Понимание условий задачи

• У нас есть цилиндр с радиусом основания r = 1.
• Две плоскости, проведенные через образующую цилиндра, образуют угол 120 градусов между собой.
• Площади сечений, полученных этими плоскостями, равны 1.

Шаг 2: Формула площади сечения цилиндра

Площадь сечения цилиндра, проведенного через его образующую, можно выразить через радиус основания и высоту. Если плоскость сечет цилиндр, то площадь сечения S может быть найдена по формуле:

S = h * r,

где h - высота сечения, а r - радиус основания цилиндра.

Шаг 3: Использование площади сечения

Поскольку площадь сечения равна 1, подставим известные значения:

1 = h * 1.

Это означает, что высота сечения h = 1.

Шаг 4: Определение высоты цилиндра

Теперь нам нужно найти высоту самого цилиндра. Поскольку угол между плоскостями равен 120 градусов, это влияет на высоту цилиндра. Высота цилиндра h_c можно найти, используя тригонометрию:

h_c = h / sin(60),

где 60 градусов - это угол между одной из плоскостей и вертикальной осью цилиндра.

Так как sin(60) = √3 / 2, подставим:

h_c = 1 / (√3 / 2) = 2 / √3.

Шаг 5: Вычисление объема цилиндра

Теперь можем найти объем цилиндра V по формуле:

V = π * r² * h_c.

Подставим известные значения:

V = π * 1² * (2 / √3) = 2π / √3.

Ответ

Таким образом, объем цилиндра равен 2π / √3.