Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб. Диагональ A1C равна 6 см. Нужно найти: 1) какова длина ребра AB; 2) какой косинус угла между диагональю A1C и плоскостью ABC.

Геометрия 11 класс Диагонали и углы в пространственных фигурах длина ребра куба диагональ куба косинус угла плоскость ABC геометрия 11 класс Новый

Давайте решим эту задачу по шагам.

1. Найдем длину ребра AB куба.

В кубе все ребра равны, и обозначим длину ребра куба как a. Диагональ A1C в кубе соединяет две противоположные вершины, и ее длина можно выразить через длину ребра по формуле:

Длина диагонали куба = a * корень(3).

В нашем случае длина диагонали A1C равна 6 см. Таким образом, мы можем записать уравнение:

a * корень(3) = 6.

Теперь, чтобы найти a, разделим обе стороны на корень(3):

a = 6 / корень(3).

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на корень(3):

a = (6 * корень(3)) / 3 = 2 * корень(3).

Таким образом, длина ребра AB равна 2 * корень(3) см.

2. Найдем косинус угла между диагональю A1C и плоскостью ABC.

Для нахождения косинуса угла между диагональю и плоскостью, нам нужно использовать векторный подход. Сначала найдем вектор, представляющий диагональ A1C.

В координатах куба, если A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), C(a, a, 0), D(0, a, 0), A1(0, 0, a), B1(a, 0, a), C1(a, a, a), D1(0, a, a), то:

• A1(0, 0, a)
• C(a, a, 0)

Вектор A1C можно найти так:

Вектор A1C = C - A1 = (a, a, 0) - (0, 0, a) = (a, a, -a).

Теперь найдем нормальный вектор к плоскости ABC. Плоскость ABC находится в координатах и имеет нормальный вектор (0, 0, 1), так как она параллельна оси XY.

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения косинуса угла между двумя векторами:

cos(θ) = (A1C * n) / (|A1C| * |n|),

где A1C * n - скалярное произведение векторов, |A1C| и |n| - длины векторов.

Сначала найдем длину вектора A1C:

|A1C| = корень(a^2 + a^2 + (-a)^2) = корень(3a^2) = a * корень(3).

Теперь найдем длину нормального вектора n:

|n| = корень(0^2 + 0^2 + 1^2) = 1.

Теперь найдем скалярное произведение:

A1C * n = (a, a, -a) * (0, 0, 1) = 0 + 0 - a = -a.

Теперь подставим все в формулу для косинуса:

cos(θ) = (-a) / (a * корень(3) * 1) = -1 / корень(3).

Таким образом, косинус угла между диагональю A1C и плоскостью ABC равен -1 / корень(3).

В итоге, мы нашли:

• Длина ребра AB: 2 * корень(3) см.
• Косинус угла между диагональю A1C и плоскостью ABC: -1 / корень(3).