В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 даны размеры: DD1=21, A1B1=12, BC=12. Как можно определить: а) длину диагонали AC1; б) косинус угла между диагональю куба и плоскостью основания?

Геометрия 11 класс Диагонали и углы в пространственных фигурах прямоугольный параллелепипед длина диагонали косинус угла геометрия 11 класс A1B1 DD1 BC плоскость основания задачи по геометрии Новый

Для решения данной задачи начнем с анализа данных о прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1. Мы знаем размеры:

• DD1 = 21 (высота параллелепипеда),
• A1B1 = 12 (длина параллели на верхней грани),
• BC = 12 (ширина параллелепипеда).

Таким образом, мы можем определить размеры параллелепипеда:

• Высота (h) = DD1 = 21,
• Ширина (w) = BC = 12,
• Длина (l) = A1B1 = 12.

Теперь перейдем к пункту а) - определим длину диагонали AC1.

Длина диагонали AC1 в прямоугольном параллелепипеде может быть найдена с помощью формулы:

AC1 = √(l^2 + w^2 + h^2),

где l, w и h - это длина, ширина и высота параллелепипеда соответственно.

Подставим наши значения:

• l = 12,
• w = 12,
• h = 21.

Теперь вычислим:

1. l^2 = 12^2 = 144,
2. w^2 = 12^2 = 144,
3. h^2 = 21^2 = 441.

Теперь сложим эти значения:

l^2 + w^2 + h^2 = 144 + 144 + 441 = 729.

Теперь найдем квадратный корень:

AC1 = √729 = 27.

Таким образом, длина диагонали AC1 равна 27.

Теперь перейдем к пункту б) - определим косинус угла между диагональю куба и плоскостью основания.

Для этого нам нужно использовать векторное представление. Вектор диагонали AC1 можно записать как:

• AC1 = (l, w, h) = (12, 12, 21).

Вектор плоскости основания (например, плоскости ABCD) можно взять как (l, w, 0), т.е.:

• AB = (l, w, 0) = (12, 12, 0).

Теперь найдем косинус угла между векторами AC1 и AB. Для этого используем формулу:

cos(θ) = (AC1 * AB) / (|AC1| * |AB|),

где * - это скалярное произведение векторов, а |...| - длина вектора.

Сначала найдем скалярное произведение:

AC1 * AB = 12 * 12 + 12 * 12 + 21 * 0 = 144 + 144 + 0 = 288.

Теперь найдем длины векторов:

1. |AC1| = √(12^2 + 12^2 + 21^2) = √729 = 27,
2. |AB| = √(12^2 + 12^2 + 0^2) = √(144 + 144) = √288 = 12√2.

Теперь подставим в формулу:

cos(θ) = 288 / (27 * 12√2).

Упростим это выражение:

cos(θ) = 288 / (324√2) = 8 / (9√2).

Таким образом, косинус угла между диагональю AC1 и плоскостью основания равен 8 / (9√2).