Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Пифагора, так как отрезки AA1 и BB1 перпендикулярны плоскости α и образуют прямоугольный треугольник с отрезком A1B1.

Давайте обозначим:

• L - длина отрезка A1B1, которую мы хотим найти.
• AB - длина отрезка, равная 13 см.
• AA1 - длина отрезка, равная 3 см.
• BB1 - длина отрезка, равная 8 см.

Сначала мы можем найти длину отрезка A1B1, используя теорему Пифагора в треугольнике A1AB1:

1. По теореме Пифагора, для треугольника A1AB1 можно записать:
A1B1^2 + AA1B1^2 = AB^2
2. Где:
• A1B1 - это искомый отрезок,
• AA1 - это высота от точки A до плоскости α, которая равна 3 см,
• BB1 - это высота от точки B до плоскости α, которая равна 8 см.
3. Теперь мы можем найти длину A1B1:
A1B1^2 = AB^2 - (AA1 + BB1)^2

Подставим известные значения:

1. AB = 13 см
2. AA1 + BB1 = 3 см + 8 см = 11 см
3. Теперь подставим в формулу:
A1B1^2 = 13^2 - 11^2

Теперь вычислим:

• 13^2 = 169
• 11^2 = 121

Теперь подставим эти значения:

Теперь найдем A1B1:

Таким образом, длина отрезка A1B1 равна 4√3 см или примерно 6 см (если округлить).