Даны точки A(1; 2; -3), B(-2; 0; 4) и C(-1; -2; 1). а) Каковы длины сторон AB, BC и AC? б) Каковы координаты середин сторон AB и AC? в) Какова площадь треугольника ABC?

Геометрия 11 класс Треугольники в пространстве длина сторон треугольника координаты середин отрезков площадь треугольника ABC геометрия 11 класс задачи по геометрии векторы в пространстве расстояние между точками Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

а) Найдем длины сторон AB, BC и AC.

Длина отрезка между двумя точками A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2) в пространстве вычисляется по формуле:

AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)

1. Найдем длину AB:
• Координаты A: (1, 2, -3)
• Координаты B: (-2, 0, 4)
• Подставим в формулу:
• AB = √((-2 - 1)² + (0 - 2)² + (4 - (-3))²)
• AB = √((-3)² + (-2)² + (7)²)
• AB = √(9 + 4 + 49) = √62
2. Теперь найдем длину BC:
• Координаты B: (-2, 0, 4)
• Координаты C: (-1, -2, 1)
• Подставим в формулу:
• BC = √((-1 - (-2))² + (-2 - 0)² + (1 - 4)²)
• BC = √((1)² + (-2)² + (-3)²)
• BC = √(1 + 4 + 9) = √14
3. Теперь найдем длину AC:
• Координаты A: (1, 2, -3)
• Координаты C: (-1, -2, 1)
• Подставим в формулу:
• AC = √((-1 - 1)² + (-2 - 2)² + (1 - (-3))²)
• AC = √((-2)² + (-4)² + (4)²)
• AC = √(4 + 16 + 16) = √36 = 6

Итак, длины сторон:

• AB = √62
• BC = √14
• AC = 6

б) Найдем координаты середин сторон AB и AC.

Координаты середины отрезка между двумя точками A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2) вычисляются по формуле:

Середина = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2, (z1 + z2)/2)

1. Найдем середину AB:
• Координаты A: (1, 2, -3)
• Координаты B: (-2, 0, 4)
• Середина AB = ((1 + (-2))/2, (2 + 0)/2, (-3 + 4)/2)
• Середина AB = (-0.5, 1, 0.5)
2. Теперь найдем середину AC:
• Координаты A: (1, 2, -3)
• Координаты C: (-1, -2, 1)
• Середина AC = ((1 + (-1))/2, (2 + (-2))/2, (-3 + 1)/2)
• Середина AC = (0, 0, -1)

Итак, координаты середин сторон:

• Середина AB = (-0.5, 1, 0.5)
• Середина AC = (0, 0, -1)

в) Найдем площадь треугольника ABC.

Площадь треугольника ABC можно найти с помощью формулы:

Площадь = 0.5 * |AB x AC|, где x - векторное произведение.

Сначала найдем векторы AB и AC:

• AB = B - A = (-2 - 1, 0 - 2, 4 - (-3)) = (-3, -2, 7)
• AC = C - A = (-1 - 1, -2 - 2, 1 - (-3)) = (-2, -4, 4)

Теперь найдем векторное произведение AB x AC:

Векторное произведение векторов (a1, a2, a3) и (b1, b2, b3) вычисляется по формуле:

(a2*b3 - a3*b2, a3*b1 - a1*b3, a1*b2 - a2*b1)

1. Вычислим AB x AC:
• AB x AC = ((-2)*4 - (7)*(-4), (7)(-2) - (-3)(4), (-3)(-4) - (-2)(-2))
• AB x AC = (-8 + 28, -14 + 12, 12 - 4)
• AB x AC = (20, -2, 8)

Теперь найдем длину векторного произведения:

|AB x AC| = √(20² + (-2)² + 8²) = √(400 + 4 + 64) = √468

Теперь можем найти площадь треугольника:

Площадь = 0.5 * |AB x AC| = 0.5 * √468 = √117.

Итак, площадь треугольника ABC равна √117.