Каковы углы, периметр и площадь треугольника, вершинами которого являются точки А(9; - 3; 2), В(6; -1; 4) и С(5; - 3; 2)?

Геометрия 11 класс Треугольники в пространстве углы треугольника периметр треугольника площадь треугольника координаты точек геометрия 11 класс задачи по геометрии Новый

Чтобы найти углы, периметр и площадь треугольника с вершинами в точках A(9; -3; 2), B(6; -1; 4) и C(5; -3; 2), мы будем следовать следующим шагам:

1. Найдем длины сторон треугольника:

Длину стороны можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками в пространстве:

Если у нас есть точки P(x1, y1, z1) и Q(x2, y2, z2), то расстояние d между ними вычисляется по формуле:

d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)

• Длина стороны AB:

AB = √((6 - 9)² + (-1 + 3)² + (4 - 2)²) = √((-3)² + (2)² + (2)²) = √(9 + 4 + 4) = √17

• Длина стороны BC:

BC = √((5 - 6)² + (-3 + 1)² + (2 - 4)²) = √((-1)² + (-2)² + (-2)²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3

• Длина стороны AC:

AC = √((5 - 9)² + (-3 + 3)² + (2 - 2)²) = √((-4)² + (0)² + (0)²) = √16 = 4

2. Периметр треугольника:

Периметр P треугольника равен сумме длин всех его сторон:

P = AB + BC + AC = √17 + 3 + 4 = √17 + 7

3. Площадь треугольника:

Для нахождения площади треугольника с известными длинами сторон можно использовать формулу Герона:

S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),

где p - полупериметр, a, b, c - длины сторон треугольника.

Сначала найдем полупериметр:

p = P / 2 = (√17 + 7) / 2

Теперь подставим длины сторон в формулу Герона:

S = √(p * (p - √17) * (p - 3) * (p - 4))

4. Углы треугольника:

Для нахождения углов треугольника можно использовать теорему косинусов:

cos(γ) = (a² + b² - c²) / (2ab),

где a, b, c - длины сторон, а γ - угол напротив стороны c.

• Угол A:

cos(A) = (BC² + AC² - AB²) / (2 * BC * AC) = (3² + 4² - √17²) / (2 * 3 * 4)

• Угол B:

cos(B) = (AC² + AB² - BC²) / (2 * AC * AB) = (4² + √17² - 3²) / (2 * 4 * √17)

• Угол C:

cos(C) = (AB² + BC² - AC²) / (2 * AB * BC) = (√17² + 3² - 4²) / (2 * √17 * 3)

Теперь, подставив значения, вы сможете найти углы треугольника. Таким образом, мы нашли длины сторон, периметр и площадь треугольника, а также углы, используя теорему косинусов.