Чтобы решить эту задачу, давайте сначала разберемся с формулами, которые помогут нам найти нужные значения.

а) Длина ребра куба:

В кубе диагональ D и длина ребра a связаны следующей формулой:

D = a * √3

Где D - диагональ куба, a - длина ребра куба, а √3 - это корень из трех. Теперь, зная, что диагональ куба равна 8 см, мы можем подставить это значение в формулу:

1. Записываем формулу: D = a * √3.
2. Подставляем известное значение диагонали: 8 = a * √3.
3. Теперь, чтобы найти a, нужно выразить его: a = 8 / √3.
4. Для удобства можно умножить числитель и знаменатель на √3, чтобы избавиться от корня в знаменателе: a = (8 * √3) / 3.

Таким образом, длина ребра куба равна (8 * √3) / 3 см.

б) Косинус угла между диагональю куба и плоскостью основания:

Для нахождения косинуса угла между диагональю куба и плоскостью основания, мы можем использовать следующее:

Косинус угла θ между диагональю и плоскостью основания можно найти как отношение длины проекции диагонали на вертикальную ось (высота куба, которая равна a) к длине диагонали:

cos(θ) = a / D

Мы уже знаем, что D = 8 см и a = (8 * √3) / 3 см. Теперь подставим эти значения в формулу:

1. Записываем формулу: cos(θ) = a / D.
2. Подставляем значения: cos(θ) = ((8 * √3) / 3) / 8.
3. Сокращаем 8: cos(θ) = (√3) / 3.

Таким образом, косинус угла между диагональю куба и плоскостью основания равен (√3) / 3.

В итоге, мы нашли:

• Длину ребра куба: (8 * √3) / 3 см.
• Косинус угла между диагональю и плоскостью основания: (√3) / 3.