Докажите, что среди всех прямоугольников с одинаковыми периметрами квадрат обладает максимальной площадью. Пожалуйста, приведите ваше объяснение.

Геометрия 11 класс Оптимизация площади фигур геометрия 11 класс доказательство площади прямоугольники периметры квадрат максимальная площадь свойства квадратов Новый

Давайте рассмотрим задачу о том, что среди всех прямоугольников с одинаковыми периметрами квадрат обладает максимальной площадью. Для этого мы воспользуемся некоторыми основными понятиями из геометрии и алгебры.

Шаг 1: Определим периметр прямоугольника.

• Пусть длина прямоугольника равна a, а ширина — b.
• Тогда периметр P прямоугольника можно выразить как: P = 2(a + b).

Шаг 2: Выразим ширину через длину и периметр.

• Если периметр фиксирован, например P0, то мы можем выразить b через a:
• 2(a + b) = P0, откуда b = (P0/2) - a.

Шаг 3: Найдем площадь прямоугольника.

• Площадь S прямоугольника равна: S = a * b.
• Подставим значение b из предыдущего шага:
• S = a * ((P0/2) - a) = (P0/2) * a - a².

Шаг 4: Найдем максимум площади.

• Теперь у нас есть функция площади S(a) = (P0/2) * a - a², которая является параболой, открытой вниз (так как коэффициент при a² отрицательный).
• Чтобы найти максимум этой функции, найдем производную S' и приравняем её к нулю:
• S' = (P0/2) - 2a = 0.
• Решая это уравнение, получаем a = P0/4.

Шаг 5: Найдем значение b.

• Подставим a = P0/4 в формулу для b:
• b = (P0/2) - (P0/4) = P0/4.

Шаг 6: Вывод.

• Таким образом, мы получили, что при максимуме площади a = b = P0/4, что означает, что прямоугольник является квадратом.
• Следовательно, среди всех прямоугольников с одинаковыми периметрами квадрат действительно обладает максимальной площадью.

Таким образом, мы доказали, что квадрат является прямоугольником с максимальной площадью при фиксированном периметре.