Докажите, что среди всех прямоугольников с одинаковыми периметрами квадрат обладает максимальной площадью. Пожалуйста, приведите объяснение.

Геометрия 11 класс Оптимизация площади фигур прямоугольники одинаковые периметры квадрат максимальная площадь доказательство геометрии Новый

Чтобы доказать, что среди всех прямоугольников с одинаковыми периметрами квадрат обладает максимальной площадью, мы можем воспользоваться методом анализа и некоторыми свойствами геометрии. Рассмотрим шаги решения:

1. Определим параметры прямоугольника:
   • Пусть длина прямоугольника равна a, а ширина равна b.
   • Периметр P прямоугольника можно выразить как P = 2(a + b).
2. Выразим ширину через длину и периметр:
   • Так как периметр постоянен, мы можем выразить b через a: b = P/2 - a.
3. Запишем формулу для площади:
   • Площадь S прямоугольника равна S = a * b.
   • Подставим значение b: S = a * (P/2 - a) = (P/2)a - a².
4. Найдем максимум площади:
   • Чтобы найти максимальное значение функции S(a), нужно найти её производную и приравнять к нулю.
   • Производная S(a) будет равна S'(a) = P/2 - 2a.
   • Приравняем производную к нулю: P/2 - 2a = 0, откуда a = P/4.
   • Теперь подставим a обратно в выражение для b: b = P/2 - a = P/2 - P/4 = P/4.
5. Проверим, что это максимум:
   • Вторая производная S''(a) = -2, что меньше нуля, значит, функция S(a) имеет максимум в точке a = P/4.
6. Заключение:
   • Таким образом, при a = b = P/4 мы получаем квадрат со стороной P/4.
   • Площадь этого квадрата S = (P/4) * (P/4) = P²/16.
   • Это максимальная площадь среди всех прямоугольников с заданным периметром P.

Следовательно, мы доказали, что среди всех прямоугольников с одинаковыми периметрами квадрат обладает максимальной площадью.