Как можно доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом в следующих ситуациях:

1. Для точек A(0;2;-3), B(-1;1;1), C(2;-2;-1), D(3;-1;-5);
2. Для точек A(2;1;3), B(1;0;7), C(-2;1;5), D(-1;2;1).

ОЧЕНЬ СРОЧНО, ПОЖАЛУЙСТА!!! ДАМ 30 БАЛЛОВ

Геометрия 11 класс Параллелограммы в пространстве четырехугольник ABCD параллелограмм доказательство геометрии координаты точек свойства параллелограмма Новый

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, мы можем использовать несколько подходов. Один из самых распространенных способов — проверить, равны ли длины противоположных сторон. Если это так, то четырехугольник является параллелограммом. Также можно использовать векторы. Мы рассмотрим оба случая для указанных вами точек.

1. Для точек A(0;2;-3), B(-1;1;1), C(2;-2;-1), D(3;-1;-5):

Сначала найдем векторы, представляющие стороны четырехугольника:

• Вектор AB = B - A = (-1 - 0; 1 - 2; 1 - (-3)) = (-1; -1; 4)
• Вектор BC = C - B = (2 - (-1); -2 - 1; -1 - 1) = (3; -3; -2)
• Вектор CD = D - C = (3 - 2; -1 - (-2); -5 - (-1)) = (1; 1; -4)
• Вектор DA = A - D = (0 - 3; 2 - (-1); -3 - (-5)) = (-3; 3; 2)

Теперь найдем длины этих векторов:

• Длина AB = sqrt((-1)² + (-1)² + 4²) = sqrt(1 + 1 + 16) = sqrt(18)
• Длина CD = sqrt(1² + 1² + (-4)²) = sqrt(1 + 1 + 16) = sqrt(18)
• Длина BC = sqrt(3² + (-3)² + (-2)²) = sqrt(9 + 9 + 4) = sqrt(22)
• Длина DA = sqrt((-3)² + 3² + 2²) = sqrt(9 + 9 + 4) = sqrt(22)

Мы видим, что длины противоположных сторон равны:

• Длина AB = Длина CD
• Длина BC = Длина DA

Таким образом, четырехугольник ABCD является параллелограммом.

2. Для точек A(2;1;3), B(1;0;7), C(-2;1;5), D(-1;2;1):

Аналогично, найдем векторы для этого четырехугольника:

• Вектор AB = B - A = (1 - 2; 0 - 1; 7 - 3) = (-1; -1; 4)
• Вектор BC = C - B = (-2 - 1; 1 - 0; 5 - 7) = (-3; 1; -2)
• Вектор CD = D - C = (-1 - (-2); 2 - 1; 1 - 5) = (1; 1; -4)
• Вектор DA = A - D = (2 - (-1); 1 - 2; 3 - 1) = (3; -1; 2)

Теперь найдем длины этих векторов:

• Длина AB = sqrt((-1)² + (-1)² + 4²) = sqrt(1 + 1 + 16) = sqrt(18)
• Длина CD = sqrt(1² + 1² + (-4)²) = sqrt(1 + 1 + 16) = sqrt(18)
• Длина BC = sqrt((-3)² + 1² + (-2)²) = sqrt(9 + 1 + 4) = sqrt(14)
• Длина DA = sqrt(3² + (-1)² + 2²) = sqrt(9 + 1 + 4) = sqrt(14)

Мы снова видим, что длины противоположных сторон равны:

• Длина AB = Длина CD
• Длина BC = Длина DA

Таким образом, четырехугольник ABCD также является параллелограммом.

В обоих случаях мы доказали, что четырехугольники ABCD являются параллелограммами, используя свойства равенства длин противоположных сторон. Вы можете использовать этот метод для проверки любых четырехугольников.