Как найти четвертую вершину и острый угол параллелограмма, если даны три его вершины: А (-3, -1, 2), В (5, 3, -3) и С (3, -4, 4)?

Геометрия 11 класс Параллелограммы в пространстве четвертая вершина параллелограмма острый угол параллелограмма координаты параллелограмма геометрия 11 класс задачи по геометрии решение задач по координатам Новый

Чтобы найти четвертую вершину параллелограмма и острый угол, следуем следующему алгоритму:

1. Определяем координаты четвертой вершины D:

Параллелограмм имеет свойство, что его диагонали пересекаются в средине. Мы можем использовать это свойство, чтобы найти координаты точки D.

Сначала найдем среднюю точку диагонали AC:

• Координаты точки A: (-3, -1, 2)
• Координаты точки C: (3, -4, 4)

Средняя точка M диагонали AC вычисляется по формуле:

• M_x = (A_x + C_x) / 2 = (-3 + 3) / 2 = 0
• M_y = (A_y + C_y) / 2 = (-1 - 4) / 2 = -2.5
• M_z = (A_z + C_z) / 2 = (2 + 4) / 2 = 3

Таким образом, координаты точки M равны (0, -2.5, 3).

Теперь найдем координаты точки D, используя среднюю точку M и координаты точки B:

• Координаты точки B: (5, 3, -3)

Поскольку M является серединой отрезка BD, можем записать:

• M_x = (B_x + D_x) / 2
• M_y = (B_y + D_y) / 2
• M_z = (B_z + D_z) / 2

Теперь подставим известные значения и решим систему уравнений:

• 0 = (5 + D_x) / 2 => D_x = -5
• -2.5 = (3 + D_y) / 2 => D_y = -8
• 3 = (-3 + D_z) / 2 => D_z = 9

Таким образом, координаты точки D равны (-5, -8, 9).

2. Находим острый угол параллелограмма:

Чтобы найти острый угол, мы можем использовать векторы. Найдем векторы AB и AD:

• Вектор AB = B - A = (5 - (-3), 3 - (-1), -3 - 2) = (8, 4, -5)
• Вектор AD = D - A = (-5 - (-3), -8 - (-1), 9 - 2) = (-2, -7, 7)

Теперь найдем угол между векторами AB и AD, используя скалярное произведение:

• Скалярное произведение: AB * AD = (8 * -2) + (4 * -7) + (-5 * 7) = -16 - 28 - 35 = -79
• Нормы векторов: ||AB|| = sqrt(8^2 + 4^2 + (-5)^2) = sqrt(64 + 16 + 25) = sqrt(105)
• ||AD|| = sqrt((-2)^2 + (-7)^2 + 7^2) = sqrt(4 + 49 + 49) = sqrt(102)

Теперь используем формулу для нахождения косинуса угла:

cos(угол) = (AB * AD) / (||AB|| * ||AD||)

Подставляем значения:

cos(угол) = -79 / (sqrt(105) * sqrt(102))

Теперь, чтобы найти угол, используем арккосинус:

угол = arccos(cos(угол)).

Таким образом, мы нашли четвертую вершину и острый угол параллелограмма.