Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми, в данном случае функциями y^2 = x + 1 и y^2 = 9 - x, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найти точки пересечения кривых.
   • Сначала выразим y из обеих функций:
   • Из первой функции: y = ±√(x + 1)
   • Из второй функции: y = ±√(9 - x)
   • Теперь приравняем эти выражения:
   • √(x + 1) = √(9 - x) и √(x + 1) = -√(9 - x).
   • Решим первое уравнение:
   • Квадратируем обе стороны: x + 1 = 9 - x.
   • Соберем все x в одну сторону: 2x = 8, отсюда x = 4.
   • Теперь подставим x = 4 в одно из уравнений, чтобы найти y:
   • y^2 = 4 + 1 = 5, значит y = ±√5.
   • Таким образом, одна точка пересечения: (4, √5) и (4, -√5).
   • Теперь решим второе уравнение:
   • √(x + 1) = -√(9 - x) не имеет решений, так как корень не может быть отрицательным.
   • Таким образом, точки пересечения находятся только в (4, √5) и (4, -√5).
2. Определить границы интегрирования.
   • Мы нашли, что фигура ограничена по x от -1 до 4, так как при x = -1 y^2 = 0 (точка (−1, 0)).
3. Записать интеграл для площади.
   • Площадь A будет равна интегралу от нижней функции до верхней:
   • A = ∫[от -1 до 4] (√(9 - x) - (-√(x + 1))) dx.
   • Это можно упростить до: A = ∫[от -1 до 4] (√(9 - x) + √(x + 1)) dx.
4. Вычислить интеграл.
   • Вычисление интеграла может потребовать применения подстановки или численных методов, если интеграл не поддается аналитическому решению.
   • После нахождения значения интеграла, вы получите площадь фигуры.

Таким образом, следуя этим шагам, вы сможете найти площадь фигуры, ограниченной данными функциями.