Как можно найти площадь треугольника, если известны координаты его вершин A(1;1;1), B(2;3;4) и C(4;3;2)?

Геометрия 11 класс Площадь треугольника в пространстве площадь треугольника координаты вершин формула площади треугольника геометрия 11 класс A(1;1;1) B(2;3;4) C(4;3;2) Новый

Чтобы найти площадь треугольника, заданного его вершинами в трехмерном пространстве, можно воспользоваться векторным методом. Этот метод включает в себя вычисление векторов, образующих стороны треугольника, и использование их для нахождения площади. Рассмотрим шаги решения:

1. Определим векторы:
   • Вектор AB: AB = B - A = (2 - 1; 3 - 1; 4 - 1) = (1; 2; 3)
   • Вектор AC: AC = C - A = (4 - 1; 3 - 1; 2 - 1) = (3; 2; 1)
2. Вычислим векторное произведение векторов AB и AC:
   • Векторное произведение AB и AC в трехмерном пространстве вычисляется по формуле:
   • AB x AC = |i j k|
   • |1 2 3|
   • |3 2 1|
   • Где i, j, k - единичные векторы по осям x, y, z.
   • Вычисляем определитель:
   • AB x AC = i(2*1 - 3*2) - j(1*1 - 3*3) + k(1*2 - 2*3)
   • Это дает: AB x AC = i(2 - 6) - j(1 - 9) + k(2 - 6)
   • То есть: AB x AC = (-4; 8; -4)
3. Найдём длину векторного произведения:
   • Длина вектора V = (x; y; z) вычисляется по формуле: |V| = √(x² + y² + z²).
   • В нашем случае: |AB x AC| = √((-4)² + 8² + (-4)²) = √(16 + 64 + 16) = √96 = 4√6.
4. Найдём площадь треугольника:
   • Площадь треугольника S равна половине длины векторного произведения:
   • S = 1/2 * |AB x AC| = 1/2 * 4√6 = 2√6.

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 2√6.