Как можно определить острый угол ромба ABCD, если известны координаты его вершин A(14;-8;-1), B(7;3;-1), C(-6;4;-1) и D(1;-7;-1)?

Геометрия 11 класс Углы и треугольники в пространстве острый угол ромба координаты вершин геометрия 11 класс ромб ABCD определение угла математические координаты Новый

Чтобы определить острый угол ромба ABCD, нам нужно воспользоваться свойствами векторов и скалярного произведения. Давайте рассмотрим шаги решения этой задачи.

Шаг 1: Определение векторов

Сначала мы найдем векторы, которые представляют стороны ромба. Для этого вычислим векторы AB и AD.

• Вектор AB = B - A = (7 - 14; 3 - (-8); -1 - (-1)) = (-7; 11; 0)
• Вектор AD = D - A = (1 - 14; -7 - (-8); -1 - (-1)) = (-13; 1; 0)

Шаг 2: Вычисление скалярного произведения

Теперь мы можем найти скалярное произведение векторов AB и AD:

Скалярное произведение AB и AD = AB · AD = (-7) * (-13) + 11 * 1 + 0 * 0 = 91 + 11 + 0 = 102.

Шаг 3: Нахождение модулей векторов

Теперь найдем длины векторов AB и AD:

• Длина вектора AB = √((-7)^2 + 11^2 + 0^2) = √(49 + 121) = √170.
• Длина вектора AD = √((-13)^2 + 1^2 + 0^2) = √(169 + 1) = √170.

Шаг 4: Вычисление косинуса угла

Теперь мы можем найти косинус угла между векторами AB и AD с помощью формулы:

cos(θ) = (AB · AD) / (|AB| * |AD|).

Подставим значения:

cos(θ) = 102 / (√170 * √170) = 102 / 170 = 0.6.

Шаг 5: Нахождение угла

Теперь, чтобы найти угол θ, используем арккосинус:

θ = arccos(0.6).

С помощью калькулятора или таблицы значений мы можем найти, что θ ≈ 53.13°.

Шаг 6: Определение остроты угла

Так как угол θ ≈ 53.13° меньше 90°, мы можем заключить, что это острый угол ромба ABCD.

Таким образом, острый угол ромба ABCD равен примерно 53.13°.