Как можно определить величину угла В в треугольнике АВС, если заданы координаты вершин A(2;-1;3), B(1;1;1) и C(0;0;5)?

Геометрия 11 класс Углы и треугольники в пространстве угол В треугольника координаты вершин треугольник ABC определение угла геометрия 11 класс Новый

Для определения величины угла B в треугольнике ABC, заданном координатами вершин A(2; -1; 3), B(1; 1; 1) и C(0; 0; 5), необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найти векторы AB и BC.
   • Вектор AB можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки B:

   AB = B - A = (1 - 2; 1 - (-1); 1 - 3) = (-1; 2; -2)

   • Вектор BC можно найти, вычитая координаты точки B из координат точки C:

   BC = C - B = (0 - 1; 0 - 1; 5 - 1) = (-1; -1; 4)

2. Найти длины векторов AB и BC.
   • Длина вектора AB:

   |AB| = √((-1)² + 2² + (-2)²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3

   • Длина вектора BC:

   |BC| = √((-1)² + (-1)² + 4²) = √(1 + 1 + 16) = √18 = 3√2

3. Найти скалярное произведение векторов AB и BC.

   Скалярное произведение вычисляется по формуле:

   AB • BC = (-1)(-1) + (2)(-1) + (-2)(4) = 1 - 2 - 8 = -9

4. Использовать формулу для нахождения угла между векторами.

   Угол θ между векторами можно найти по формуле:

   cos(θ) = (AB • BC) / (|AB| * |BC|)

   Подставляем найденные значения:

   cos(θ) = -9 / (3 * 3√2) = -9 / (9√2) = -1 / √2

   Теперь находим угол θ:

   θ = arccos(-1 / √2)

   Это соответствует углу 135 градусов.

Таким образом, величина угла B в треугольнике ABC составляет 135 градусов.