Как найти косинус угла между прямыми A B и C D, если заданы координаты точек A (5; 4; -2), B (-7; 8; 4), C (0; -7; -2) и D (-4; -2; 18)?

Геометрия 11 класс Углы между прямыми в пространстве косинус угла прямые A B прямые C D координаты точек геометрия 11 класс Новый

Для нахождения косинуса угла между двумя прямыми, заданными точками в пространстве, необходимо следовать нескольким шагам. Давайте рассмотрим, как это сделать на примере заданных точек A, B, C и D.

1. Находим векторы прямых AB и CD.
• Вектор AB можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки B:
• AB = B - A = (-7 - 5; 8 - 4; 4 - (-2)) = (-12; 4; 6).
• Вектор CD также находим аналогичным образом:
• CD = D - C = (-4 - 0; -2 - (-7); 18 - (-2)) = (-4; 5; 20).
2. Находим скалярное произведение векторов AB и CD.
• Скалярное произведение двух векторов A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2) вычисляется по формуле:
• A * B = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2.
• Подставляем значения векторов AB и CD:
• AB * CD = (-12) * (-4) + 4 * 5 + 6 * 20 = 48 + 20 + 120 = 188.
3. Находим длины векторов AB и CD.
• Длина вектора A(x, y, z) вычисляется по формуле:
• |A| = √(x^2 + y^2 + z^2).
• Находим длину вектора AB:
• |AB| = √((-12)^2 + 4^2 + 6^2) = √(144 + 16 + 36) = √196 = 14.
• Находим длину вектора CD:
• |CD| = √((-4)^2 + 5^2 + 20^2) = √(16 + 25 + 400) = √441 = 21.
4. Находим косинус угла между векторами AB и CD.
• Косинус угла θ между двумя векторами можно найти по формуле:
• cos(θ) = (AB * CD) / (|AB| * |CD|).
• Подставляем найденные значения:
• cos(θ) = 188 / (14 * 21) = 188 / 294.
• cos(θ) = 0.638.

Таким образом, косинус угла между прямыми AB и CD равен примерно 0.638.