Для решения этой задачи начнем с того, что нам даны отношения сторон треугольника, которые составляют 9:10:11. Мы можем обозначить стороны треугольника как:

• a = 9k
• b = 10k
• c = 11k

где k - это некоторый положительный коэффициент, который мы еще определим.

Теперь, чтобы найти значение k, мы воспользуемся информацией о точке M, которая находится на расстоянии 7 см от плоскости треугольника и на расстоянии 9 см от каждой его стороны. Это означает, что расстояние от точки M до плоскости треугольника является высотой треугольника, проведенной из точки M.

Расстояние от точки до стороны треугольника равно 9 см, что будет являться радиусом вписанной окружности треугольника. Мы можем использовать формулу для нахождения радиуса вписанной окружности (r) треугольника:

r = S / p

где S - площадь треугольника, а p - полупериметр треугольника.

Сначала найдем полупериметр (p):

p = (a + b + c) / 2 = (9k + 10k + 11k) / 2 = 30k / 2 = 15k

Теперь найдем площадь (S) треугольника. Мы можем использовать формулу Герона для площади:

S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))

Подставим значения:

• p - a = 15k - 9k = 6k
• p - b = 15k - 10k = 5k
• p - c = 15k - 11k = 4k

Теперь подставим все в формулу Герона:

S = sqrt(15k * 6k * 5k * 4k) = sqrt(1800k^4) = 30k^2 * sqrt(2)

Теперь подставим S и p в формулу для радиуса вписанной окружности:

9 = (30k^2 * sqrt(2)) / (15k)

Упростим это уравнение:

9 = 2k * sqrt(2)

Теперь найдем k:

k = 9 / (2 * sqrt(2))

Теперь, зная k, мы можем найти длины сторон треугольника:

• a = 9k = 9 * (9 / (2 * sqrt(2))) = 81 / (2 * sqrt(2))
• b = 10k = 10 * (9 / (2 * sqrt(2))) = 90 / (2 * sqrt(2))
• c = 11k = 11 * (9 / (2 * sqrt(2))) = 99 / (2 * sqrt(2))

Таким образом, мы нашли стороны треугольника в терминах k. Если необходимо получить численные значения, мы можем подставить значение k и вычислить.

Итак, стороны треугольника равны:

• a = 81 / (2 * sqrt(2)) см
• b = 90 / (2 * sqrt(2)) см
• c = 99 / (2 * sqrt(2)) см