Какое значение имеет полная поверхность куба, если расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных боковых граней равно 2?

Геометрия 11 класс Площадь и объем многогранников полная поверхность куба значение полной поверхности куб диагонали боковых граней расстояние между диагоналями геометрия 11 класс Новый

Для решения этой задачи начнем с понимания, что такое диагонали смежных боковых граней куба. В кубе каждая грань является квадратом, и диагонали квадратов пересекаются в центре грани.

Рассмотрим куб, у которого длина ребра равна a. Тогда диагональ одной боковой грани (квадрата) можно найти с помощью формулы для диагонали квадрата:

• Длина диагонали d = a√2.

Теперь, если у нас есть две смежные боковые грани, то расстояние между их диагоналями будет равно длине ребра куба, то есть a, плюс половина длины диагонали одной из граней. Это можно выразить следующим образом:

• Расстояние между диагоналями = a + (a√2)/2.

В условии задачи говорится, что это расстояние равно 2:

• a + (a√2)/2 = 2.

Теперь решим это уравнение. Для упрощения выразим a:

• 2 = a + (a√2)/2.
• 2 = a(1 + √2/2).
• a = 2 / (1 + √2/2).

Умножим числитель и знаменатель на 2, чтобы избавиться от дроби в знаменателе:

• a = 4 / (2 + √2).

Теперь, чтобы найти полную поверхность куба, используем формулу:

• Полная поверхность S = 6a².

Сначала найдем a²:

• a² = (4 / (2 + √2))² = 16 / (2 + √2)².

Теперь найдем (2 + √2)²:

• (2 + √2)² = 4 + 4√2 + 2 = 6 + 4√2.

Таким образом, a² = 16 / (6 + 4√2).

Теперь подставим a² в формулу для полной поверхности:

• S = 6 * (16 / (6 + 4√2)) = 96 / (6 + 4√2).

Теперь мы можем упростить это выражение, но результат будет довольно громоздким. Однако, если вам нужно просто значение, можно подставить значение √2 ≈ 1.414 и получить приближенное значение:

• S ≈ 96 / (6 + 4 * 1.414) = 96 / (6 + 5.656) = 96 / 11.656 ≈ 8.23.

Таким образом, полная поверхность куба приблизительно равна 8.23. Если же требуется точное значение, то:

• Полная поверхность S = 96 / (6 + 4√2).

Это и будет ответом на вашу задачу.