1) Найдем площадь диагонального сечения куба.

Площадь поверхности куба равна 18 корней из двух см². Поскольку у куба 6 равных граней, можем найти площадь одной грани, разделив общую площадь на 6:

• Площадь одной грани: S_грань = 18√2 / 6 = 3√2 см².

Площадь грани куба равна квадрату длины его ребра:

• Если a - длина ребра, то S_грань = a².
• Таким образом, a² = 3√2.

Теперь найдем длину диагонали грани. Диагональ квадрата (грани куба) можно найти по формуле:

• d = a√2.

Заменим a на корень из 3√2:

• d = √(3√2) * √2 = √(6) см.

Теперь мы можем найти площадь диагонального сечения куба. Площадь диагонального сечения равна произведению длины ребра на длину диагонали грани:

• S_сечение = a * d = √(3√2) * √(6) = √(18) = 3√2 см².

Ответ: Площадь диагонального сечения куба равна 3√2 см².

2) Найдем диагональ прямоугольного параллелепипеда.

Даны длины диагоналей трёх граней, имеющих общую вершину: 2√10 см, 2√17 см и 10 см. Обозначим длины рёбер, исходящих из одной вершины, как a, b и c.

Квадрат диагонали параллелепипеда D можно найти по формуле:

• D² = a² + b² + c².

Мы можем выразить a², b² и c² через длины диагоналей:

• a² + b² = (10)² = 100,
• a² + c² = (2√17)² = 68,
• b² + c² = (2√10)² = 40.

Сложим эти три уравнения:

• 2(a² + b² + c²) = 100 + 68 + 40 = 208.
• Следовательно, a² + b² + c² = 208 / 2 = 104.

Теперь подставим это значение в первую формулу для нахождения диагонали:

• D² = 104.
• D = √104 = 2√26 см.

Ответ: Диагональ параллелепипеда равна 2√26 см.

3) Найдем диагональ боковой грани прямой призмы.

Основанием данной призмы является ромб с диагоналями 8 см и 6 см. Высота призмы равна 12 см. Сначала найдем сторону ромба. В ромбе сумма квадратов диагоналей равна 4 умножить на квадрат стороны:

• 4a² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100.
• Таким образом, a² = 25, значит, a = 5 см.

Теперь мы можем найти диагональ боковой грани. Боковые грани призмы - это прямоугольники, где одна сторона равна высоте призмы (12 см),а другая - стороне ромба (5 см). Для нахождения диагонали прямоугольника можно использовать теорему Пифагора:

• D_боковой = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13 см.

Ответ: Диагональ боковой грани равна 13 см.