Какова длина второго катета прямоугольного треугольника, если один катет длиной 10 см наклонен к плоскости а под углом 30°, а гипотенуза равна 5√3 см? Выполните рисунок по условию задачи и приведите решение.

Геометрия 11 класс Прямоугольные треугольники и тригонометрия длина второго катета прямоугольный треугольник катет гипотенуза угол 30 градусов геометрия 11 класс решение задачи рисунок по условию Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

У нас есть прямоугольный треугольник, в котором один катет (обозначим его A) равен 10 см и наклонен к плоскости под углом 30°, а гипотенуза (обозначим ее C) равна 5√3 см. Нам нужно найти длину второго катета (обозначим его B).

Шаг 1: Определение углов и сторон треугольника

• Угол между катетом A и гипотенузой C равен 30°.
• Так как треугольник прямоугольный, угол между катетом B и гипотенузой C будет равен 90° - 30° = 60°.

Шаг 2: Использование тригонометрических функций

Мы можем использовать соотношения в прямоугольном треугольнике. В данном случае мы воспользуемся синусом и косинусом угла 30°:

• Синус угла 30° равен отношению противолежащего катета (A) к гипотенузе (C):
• sin(30°) = A / C.
• Мы знаем, что sin(30°) = 1/2, A = 10 см, C = 5√3 см.

Подставим значения в формулу:

1/2 = 10 / (5√3)

Теперь умножим обе стороны уравнения на (5√3):

5√3 / 2 = 10

Это уравнение верно, значит, мы правильно определили, что катет A равен 10 см.

Шаг 3: Находим второй катет B

Теперь, используя косинус угла 30°, мы можем найти длину второго катета B:

• cos(30°) = B / C.
• cos(30°) = √3 / 2.

Подставляем известные значения:

√3 / 2 = B / (5√3).

Теперь умножим обе стороны на (5√3):

B = (√3 / 2) * (5√3).

Упростим это выражение:

B = (5 * 3) / 2 = 15 / 2 = 7.5 см.

Ответ: Длина второго катета B равна 7.5 см.

Рисунок:

На рисунке изображен прямоугольный треугольник с углом 30°, где:

• Катет A (10 см) наклонен под углом 30° к плоскости.
• Гипотенуза C (5√3 см) соединяет конец катета A с прямым углом.
• Катет B (7.5 см) перпендикулярен катету A.