Чтобы найти объём конуса, в который вписан шар радиусом R, и осевое сечение которого представляет собой равносторонний треугольник, нам нужно использовать несколько шагов.

Для равностороннего треугольника со стороной a, высота h треугольника может быть найдена по формуле:

h = (a * √3) / 2

Так как конус вписан в шар, высота конуса h будет равна радиусу шара R, то есть:

h = R

Таким образом, мы можем выразить сторону треугольника через радиус шара:

a = (2 * R) / √3

Радиус основания конуса (r) равен половине стороны равностороннего треугольника:

r = a / 2 = (2 * R) / (2 * √3) = R / √3

Объём V конуса можно вычислить по формуле:

V = (1/3) * π * r² * h

Подставим значения r и h:

1. r = R / √3
2. h = R

Теперь подставим в формулу объёма:

V = (1/3) * π * (R / √3)² * R

V = (1/3) * π * (R² / 3) * R

V = (1/9) * π * R³

V = (1/9) * π * R³