Объем конуса равен 9 корней из 3 пи см кубических. Какова высота конуса, если его осевое сечение представляет собой равносторонний треугольник?

Геометрия 11 класс Объем конуса и его свойства объем конуса высота конуса осевое сечение равносторонний треугольник геометрия 11 класс задачи по геометрии формулы объема конуса конус геометрические фигуры свойства конуса решение задач математические задачи площадь треугольника высота треугольника Новый

Для решения задачи начнем с того, что объем конуса можно выразить с помощью формулы:

V = (1/3) * S * h

где V - объем конуса, S - площадь основания, h - высота конуса.

В данной задаче объем конуса равен 9 корней из 3 пи см кубических:

V = 9 * √3 * π

Теперь, поскольку осевое сечение конуса представляет собой равносторонний треугольник, мы можем сделать следующие выводы:

• Радиус основания конуса r равен половине высоты h (так как высота равностороннего треугольника делит его на две равные части).
• Таким образом, r = h / 2.

Теперь найдем площадь основания S конуса:

S = π * r²

Подставим выражение для радиуса:

S = π * (h/2)² = π * (h² / 4) = (π * h²) / 4

Теперь подставим S в формулу объема:

V = (1/3) * S * h = (1/3) * (π * h² / 4) * h = (π * h³) / 12

Теперь приравняем объем, который мы знаем, к нашему выражению:

(π * h³) / 12 = 9 * √3 * π

Убираем π из обеих сторон уравнения:

h³ / 12 = 9 * √3

Умножим обе стороны на 12:

h³ = 108 * √3

Теперь найдем h, извлекая кубический корень:

h = (108 * √3)^(1/3)

Мы можем упростить это выражение:

h = 6 * (3 * √3)^(1/3)

Кубический корень из 3 * √3 можно выразить как 3^(1/3) * (√3)^(1/3) = 3^(1/3) * 3^(1/6) = 3^(1/2) = √3.

Таким образом, h = 6 * √3.

Итак, высота конуса составляет:

h = 6√3 см.