Какова градусная мера двухгранного угла с ребром AС в правильной треугольной пирамиде SABC, если высота составляет 2 корня из 3, а апофема равна 4?

Геометрия 11 класс Двугранные углы и пирамиды градусная мера двухгранный угол правильная треугольная пирамида высота апофема геометрия 11 класс Новый

Для нахождения градусной меры двухгранного угла с ребром AC в правильной треугольной пирамиде SABC, начнем с анализа геометрии данной фигуры.

Правильная треугольная пирамида состоит из основания в виде равностороннего треугольника и вершины, которая находится над центром этого треугольника. Давайте обозначим:

• S - вершина пирамиды,
• A, B, C - вершины основания (равностороннего треугольника),
• H - проекция вершины S на плоскость ABC.

Дано, что высота пирамиды (SH) равна 2√3, а апофема (SA) равна 4.

Теперь найдем длину стороны основания треугольника ABC. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике SHA, где AH - половина стороны основания ABC.

Обозначим сторону треугольника ABC как a. Тогда:

• AH = a/2,
• SH = 2√3,
• SA = 4.

По теореме Пифагора имеем:

SA² = SH² + AH².

Подставим известные значения:

4² = (2√3)² + (a/2)².

Это упростится до:

16 = 12 + (a²/4).

Теперь решим уравнение:

16 - 12 = (a²/4),

4 = (a²/4),

Умножим обе стороны на 4:

a² = 16,

отсюда a = 4.

Теперь, когда мы знаем длину стороны основания, можем найти угол между гранями SАB и SАC. Для этого найдем угол между высотой SH и линией SA.

В треугольнике SHA:

• SH = 2√3,
• SA = 4,
• AH = 2 (половина стороны a).

Используем косинус угла:

cos(∠SHA) = SH / SA = (2√3) / 4 = √3 / 2.

Таким образом, угол ∠SHA равен 30 градусам.

Поскольку углы между гранями SАB и SАC являются равными, то градусная мера двухгранного угла с ребром AC будет равна:

180° - 30° = 150°.

Итак, градусная мера двухгранного угла с ребром AC в правильной треугольной пирамиде SABC равна 150 градусам.