Какова площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если высота этой пирамиды равна 4 см, а косинус двугранного угла при основании составляет 4/5?

Геометрия 11 класс Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды площадь боковой поверхности правильная четырехугольная пирамида высота пирамиды косинус двугранного угла геометрия 11 класс Новый

Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Понимание структуры пирамиды

Правильная четырехугольная пирамида имеет квадратное основание и вершину, которая находится над центром этого основания. Боковые грани пирамиды являются треугольниками.

Шаг 2: Определение высоты боковой грани

Мы знаем, что высота пирамиды (h) равна 4 см. Также дан косинус двугранного угла при основании (cos α = 4/5). Этот угол образуется между боковой гранью и плоскостью основания.

Для треугольника, образованного высотой боковой грани (h), половиной стороны основания (a/2) и высотой боковой грани (l), мы можем использовать тригонометрические соотношения. Мы знаем, что:

cos α = (h) / (l),

где l - это длина отрезка, соединяющего вершину пирамиды с серединой стороны основания.

Следовательно, мы можем выразить l:

l = h / cos α.

Подставим известные значения:

l = 4 / (4/5) = 4 * (5/4) = 5 см.

Шаг 3: Находим площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды состоит из 4 равных треугольников (по одному на каждую боковую грань). Площадь одного треугольника можно найти по формуле:

Площадь треугольника = (1/2) * основание * высота.

В нашем случае основание треугольника - это сторона основания (a), а высота - это l, которую мы нашли ранее (5 см).

Сначала найдем сторону основания a. Мы знаем, что:

tan α = (a/2) / h.

Зная cos α, мы можем найти sin α (по теореме Пифагора):

sin α = sqrt(1 - cos² α) = sqrt(1 - (4/5)²) = sqrt(1 - 16/25) = sqrt(9/25) = 3/5.

Теперь можем выразить a через l и h:

tan α = sin α / cos α = (3/5) / (4/5) = 3/4,

отсюда a/2 = (3/4) * h = (3/4) * 4 = 3 см,

значит, a = 6 см.

Теперь подставим a и l в формулу для площади треугольника:

Площадь треугольника = (1/2) * 6 * 5 = 15 см².

Так как у нас 4 таких треугольника, общая площадь боковой поверхности будет:

Площадь боковой поверхности = 4 * 15 = 60 см².

Ответ: Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды составляет 60 см².