Какова площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если высота составляет 4 см, а косинус двугранного угла при основании равен 4/5?

Геометрия 11 класс Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды площадь боковой поверхности правильная четырехугольная пирамида высота 4 см косинус двугранного угла геометрия 11 класс Новый

Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Определение параметров пирамиды

• Правильная четырехугольная пирамида имеет квадратное основание.
• Высота пирамиды (h) равна 4 см.
• Косинус двугранного угла при основании равен 4/5.

Шаг 2: Нахождение длины ребра основания

Косинус двугранного угла можно выразить через высоту и половину стороны основания. Обозначим длину стороны основания как a. Половина стороны основания будет равна a/2. В треугольнике, образованном высотой, половиной стороны основания и ребром боковой грани, мы можем использовать косинус:

cos(φ) = h / l, где l - длина ребра боковой грани.

Подставим известные значения:

4/5 = 4 / l.

Теперь выразим l:

l = 4 / (4/5) = 4 * (5/4) = 5 см.

Шаг 3: Нахождение площади боковой поверхности

Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды можно найти по формуле:

Площадь боковой поверхности = 1/2 * периметр основания * sl, где sl - апофема (высота боковой грани).

Сначала найдем периметр основания:

Периметр = 4 * a.

Теперь нам нужно найти a. Используя теорему Пифагора в треугольнике, где высота h и половина стороны основания a/2, можем найти a:

l^2 = h^2 + (a/2)^2.

Подставим известные значения:

5^2 = 4^2 + (a/2)^2.

25 = 16 + (a^2 / 4).

25 - 16 = a^2 / 4.

9 = a^2 / 4.

a^2 = 36.

a = 6 см.

Теперь можем найти периметр:

Периметр = 4 * 6 = 24 см.

Теперь найдем площадь боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности = 1/2 * 24 * 5 = 60 см².

Ответ: Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды составляет 60 см².