Какова площадь области, ограниченной следующими графиками:

1. у=9-х2 (парабола), у=0
2. у=(х-1)2 (парабола), у=х+1, у=0

Геометрия 11 класс Площадь фигур, ограниченных кривыми площадь области графики парабола геометрия 11 класс интегралы ограниченные области математические функции Новый

Чтобы найти площадь области, ограниченной заданными графиками, нам нужно сначала определить точки пересечения этих кривых, а затем вычислить площадь между ними. Давайте рассмотрим каждую из функций по отдельности.

1. Определение функций:

• Функция 1: у = 9 - х² (парабола, направленная вниз)
• Функция 2: у = 0 (ось абсцисс)
• Функция 3: у = (х - 1)² (парабола, направленная вверх)
• Функция 4: у = х + 1 (прямая)

2. Найдем точки пересечения:

Сначала найдем точки пересечения функций у = 9 - х² и у = 0:

1. Решаем уравнение: 9 - х² = 0.
2. Это дает х² = 9, откуда х = ±3.

Точки пересечения: (-3, 0) и (3, 0).

Теперь найдем точки пересечения у = (х - 1)² и у = х + 1:

1. Решаем уравнение: (х - 1)² = х + 1.
2. Раскроем скобки: х² - 2х + 1 = х + 1.
3. Приведем подобные: х² - 3х = 0.
4. Факторизуем: х(х - 3) = 0.
5. Это дает х = 0 и х = 3.

Точки пересечения: (0, 1) и (3, 4).

3. Определяем область:

Теперь у нас есть все точки пересечения. Мы видим, что область ограничена:

• Слева: (-3, 0) и (0, 1)
• Справа: (3, 0) и (3, 4)

4. Вычисляем площадь:

Площадь можно найти, используя интегралы. Мы будем интегрировать разность верхней и нижней функции в пределах найденных точек пересечения.

Сначала найдем площадь между у = 9 - х² и у = 0 от -3 до 3:

1. Площадь 1 = ∫ от -3 до 3 (9 - х²) dx.
2. Это равняется: [9х - (х³)/3] от -3 до 3.
3. Вычисляем: (27 - 9) - (-27 + 9) = 18 + 18 = 36.

Теперь найдем площадь между у = (х - 1)² и у = х + 1 от 0 до 3:

1. Площадь 2 = ∫ от 0 до 3 ((х + 1) - (х - 1)²) dx.
2. Это равняется: ∫ от 0 до 3 (х + 1 - (х² - 2х + 1)) dx.
3. Упрощаем: ∫ от 0 до 3 (х + 1 - х² + 2х - 1) dx = ∫ от 0 до 3 (-х² + 3х) dx.
4. Вычисляем: [-х³/3 + (3х²)/2] от 0 до 3.
5. Это равняется: [(-27/3 + 27/2) - 0] = -9 + 13.5 = 4.5.

5. Итоговая площадь:

Теперь просто складываем площади:

Итоговая площадь = Площадь 1 + Площадь 2 = 36 + 4.5 = 40.5.

Таким образом, площадь области, ограниченной заданными графиками, составляет 40.5 квадратных единиц.