Для решения данной задачи начнем с анализа условий и построения чертежа. Мы знаем, что отрезок AT является высотой треугольника ABC и диаметром полукруга. Полукруг построен на отрезке AT, а точка P находится на стороне AC. У нас есть данные о длине отрезка AP и угле ∠TAP.

Итак, давайте выполним следующие шаги:

1. Найдем длину отрезка AT:

Поскольку AP = 4√3 см и угол ∠TAP = 30°, мы можем использовать тригонометрию для нахождения длины AT. В треугольнике TAP:

• Согласно определению синуса, мы знаем, что sin(30°) = 1/2.
• Из треугольника TAP, где AP является противолежащим катетом, а AT - гипотенузой, можем записать:
• AP = AT * sin(30°), откуда AT = AP / sin(30°).
• Подставляем AP: AT = (4√3) / (1/2) = 8√3 см.
2. Найдем радиус полукруга:

Радиус полукруга равен половине длины диаметра AT:

• r = AT / 2 = (8√3) / 2 = 4√3 см.
3. Вычислим площадь полукруга:

Площадь полукруга рассчитывается по формуле:

• Площадь = (π * r^2) / 2.
• Подставляем радиус: Площадь = (π * (4√3)^2) / 2.
• Теперь вычислим (4√3)^2 = 16 * 3 = 48.
• Таким образом, Площадь = (π * 48) / 2 = 24π см².

Итак, площадь полукруга, расположенная внутри треугольника ATC, равна 24π см².