Чтобы вычислить площадь (Sp) фигуры, ограниченной кривыми y = -x^2 + 2 и y = -x, нам нужно следовать нескольким шагам:

1. Найти точки пересечения кривых. Для этого мы приравняем уравнения:
• -x^2 + 2 = -x
2. Переносим все в одну сторону:
• -x^2 + x + 2 = 0
3. Умножим уравнение на -1:
• x^2 - x - 2 = 0
4. Решаем квадратное уравнение: Используем формулу корней:
• x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -1, c = -2.
5. Подставляем значения:
• x = (1 ± √(1 + 8)) / 2 = (1 ± 3) / 2
• Таким образом, x1 = 2 и x2 = -1.
6. Теперь находим соответствующие значения y:
• Для x = 2: y = -2^2 + 2 = -4 + 2 = -2.
• Для x = -1: y = -(-1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1.
7. Точки пересечения: (-1, 1) и (2, -2).
8. Теперь находим площадь фигуры: Площадь можно найти, используя интеграл:
• Sp = ∫ (верхняя кривая - нижняя кривая) dx от x1 до x2.
9. В нашем случае: верхняя кривая y = -x и нижняя кривая y = -x^2 + 2.
10. Записываем интеграл:
• Sp = ∫ от -1 до 2 ( (-x) - (-x^2 + 2) ) dx.
• Sp = ∫ от -1 до 2 ( -x + x^2 - 2 ) dx.
11. Теперь вычисляем интеграл:
• Sp = ∫ от -1 до 2 ( x^2 - x - 2 ) dx.
• Находим первообразную: (x^3 / 3) - (x^2 / 2) - 2x.
12. Теперь подставляем пределы:
• Sp = [(2^3 / 3) - (2^2 / 2) - 2*2] - [((-1)^3 / 3) - ((-1)^2 / 2) - 2*(-1)].
• Sp = [(8/3) - 2 - 4] - [(-1/3) - (1/2) + 2].
• Sp = [(8/3) - 6] - [(-1/3) - (1/2) + 2].
13. Упрощаем:
• Sp = (8/3 - 18/3) - [(-1/3 - 3/6 + 12/6)].
• Sp = (-10/3) - [(-1/3 + 9/6)].
14. В итоге получаем: Sp = 7/6.

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = -x^2 + 2 и y = -x, равна 7/6.