Давайте рассмотрим, как находить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными линиями. Мы будем использовать интегрирование для вычисления площадей. Я объясню решение для каждой из указанных пар функций.

• Сначала найдем точки пересечения функций:
1. Решим уравнение: x^2 = x.
2. Это дает нам x^2 - x = 0, или x(x - 1) = 0, что дает x = 0 и x = 1.
• Теперь найдем площадь между этими двумя кривыми от x = 0 до x = 1:
1. Площадь = интеграл от 0 до 1 (x - x^2) dx.
2. Вычисляем интеграл: интеграл (x - x^2) dx = (x^2/2 - x^3/3) от 0 до 1.
3. Подставляем границы: (1/2 - 1/3) = 1/6.

• Точки пересечения: 4 = x^2, или x = ±2.
• Площадь = интеграл от -2 до 2 (4 - x^2) dx.
1. Вычисляем интеграл: интеграл (4 - x^2) dx = (4x - x^3/3) от -2 до 2.
2. Подставляем границы: (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 16/3.

• Найдем точки пересечения: (x + 1)^2 = 1.
• Это дает x = 0 и x = -2.
• Площадь = интеграл от -2 до 0 (1 - (x + 1)^2) dx.
1. Вычисляем интеграл: интеграл (1 - (x^2 + 2x + 1)) dx = (-x^2/2 - x^3/3) от -2 до 0.
2. Подставляем границы: (0) - (2 - 8/3) = 2/3.

• Точки пересечения: 5 = x^2 + 1, или x^2 = 4, x = ±2.
• Площадь = интеграл от -2 до 2 (5 - (x^2 + 1)) dx.
1. Вычисляем интеграл: интеграл (4 - x^2) dx = (4x - x^3/3) от -2 до 2.
2. Подставляем границы: (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 16/3.

• Точки пересечения: -x^2 + 4 = 0, или x^2 = 4, x = ±2.
• Площадь = интеграл от -2 до 2 (4 - 0) dx = 4 * 2 = 8.

• Найдем точки пересечения: 1 = x^3, или x = 1.
• Площадь = интеграл от 0 до 1 (1 - x^3) dx.
1. Вычисляем интеграл: интеграл (1 - x^3) dx = (x - x^4/4) от 0 до 1.
2. Подставляем границы: (1 - 1/4) - (0) = 3/4.

• Точки пересечения: 1 = -x^3, или x^3 = -1, что не имеет реальных решений.
• Площадь = интеграл от 0 до 1 (1 - (-x^3)) dx = интеграл (1 + x^3) dx.
1. Вычисляем интеграл: интеграл (1 + x^3) dx = (x + x^4/4) от 0 до 1.
2. Подставляем границы: (1 + 1/4) - (0) = 5/4.

• Точки пересечения: x^3 = x, или x^3 - x = 0, x(x^2 - 1) = 0, x = 0, 1.
• Площадь = интеграл от 0 до 1 (x - x^3) dx.
1. Вычисляем интеграл: интеграл (x - x^3) dx = (x^2/2 - x^4/4) от 0 до 1.
2. Подставляем границы: (1/2 - 1/4) = 1/4.

• Точки пересечения: 3 - x^2 = 2, или x^2 = 1, x = ±1.
• Площадь = интеграл от -1 до 1 ((3 - x^2) - 2) dx = интеграл (1 - x^2) dx.
1. Вычисляем интеграл: интеграл (1 - x^2) dx = (x - x^3/3) от -1 до 1.
2. Подставляем границы: (1 - 1/3) - (-1 + 1/3) = 8/3.

• Найдем точки пересечения: x^3 + 1 = 1, или x^3 = 0, x = 0.
• Площадь = интеграл от 0 до 1 (1 - (x^3 + 1)) dx = интеграл (-x^3) dx.
1. Вычисляем интеграл: интеграл (-x^3) dx = (-x^4/4) от 0 до 1.
2. Подставляем границы: (-1/4) - (0) = -1/4 (площадь положительная = 1/4).

Таким образом, мы нашли площади для всех указанных фигур. Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно объяснить что-то подробнее, не стесняйтесь спрашивать!