Какова площадь осевого сечения конуса, если расстояние от центра основания до его образующей равно 3 см, а угол при вершине осевого сечения составляет 120 градусов?

Геометрия 11 класс Площадь осевого сечения конуса площадь осевого сечения конуса конус геометрия 11 класс угол при вершине расстояние от центра основания образующая конуса Новый

Чтобы найти площадь осевого сечения конуса, нам нужно сначала понять, что осевое сечение представляет собой треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса, а высота - расстоянию от вершины конуса до основания.

Давайте разберем задачу по шагам:

1. Определим радиус основания конуса:
   • Расстояние от центра основания до образующей конуса равно 3 см. Это расстояние является гипотенузой прямоугольного треугольника, где один катет - это радиус основания конуса (обозначим его R), а другой катет - это высота (обозначим ее h).
   • Мы знаем, что угол при вершине осевого сечения составляет 120 градусов. Следовательно, угол между образующей и высотой равен 60 градусов (половина 120 градусов).
   • Используя тригонометрию, мы можем выразить радиус основания через гипотенузу и угол: R = 3 см * sin(60°).
   • Значение sin(60°) равно √3/2. Подставляем: R = 3 * √3/2 = 1.5√3 см.
2. Теперь найдем высоту конуса:
   • Используем косинус угла: h = 3 см * cos(60°).
   • Значение cos(60°) равно 1/2. Подставляем: h = 3 * 1/2 = 1.5 см.
3. Теперь можем найти площадь осевого сечения:
   • Площадь треугольника (осевого сечения) равна 1/2 * основание * высота.
   • Основание нашего треугольника равно 2R (диаметр основания): 2R = 2 * 1.5√3 = 3√3 см.
   • Теперь подставляем в формулу: площадь = 1/2 * 3√3 * 1.5.
   • Считаем: площадь = 1/2 * 3√3 * 1.5 = 2.25√3 см².

Таким образом, площадь осевого сечения конуса составляет 2.25√3 см².