Какова площадь полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, если боковое ребро равно 8√3 и образует угол 60 градусов с плоскостью основания?

Геометрия 11 класс Площадь поверхности пирамиды площадь полной поверхности правильная четырехугольная пирамида боковое ребро угол 60 градусов геометрия 11 класс Новый

Для нахождения площади полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, нам нужно рассмотреть несколько шагов. Правильная четырёхугольная пирамида имеет квадратное основание и четыре равных треугольных боковых грани.

Шаг 1: Находим длину стороны основания.

Обозначим длину стороны основания квадрата как a. Боковое ребро пирамиды равно 8√3 и образует угол 60 градусов с плоскостью основания. Мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты боковой грани (h) и длины стороны основания (a).

Согласно определению косинуса, мы имеем:

• cos(60°) = h / (8√3)

Так как cos(60°) = 0.5, мы можем записать:

• 0.5 = h / (8√3)

Отсюда находим h:

• h = 0.5 * 8√3 = 4√3.

Теперь мы знаем, что высота боковой грани равна 4√3. Для нахождения длины стороны основания (a) используем соотношение в прямоугольном треугольнике, где одна катета — это h, а другая — половина стороны основания (a/2).

Используя синус, мы можем записать:

• sin(60°) = (a/2) / (8√3).

Так как sin(60°) = √3/2, мы имеем:

• √3/2 = (a/2) / (8√3).

Умножим обе стороны на 8√3:

• 4√3 = a/2.

Отсюда находим a:

• a = 8√3.

Шаг 2: Находим площадь основания.

Площадь основания (S_осн) квадрата равна:

• S_осн = a² = (8√3)² = 64 * 3 = 192.

Шаг 3: Находим площадь боковых граней.

Площадь одной боковой грани (S_бок) равного треугольника равна:

• S_бок = (1/2) * основание * высота = (1/2) * a * h.

Подставляем значения:

• S_бок = (1/2) * (8√3) * (4√3) = (1/2) * 32 * 3 = 48.

Поскольку у нас четыре боковые грани, общая площадь боковых граней (S_бок_общ) равна:

• S_бок_общ = 4 * S_бок = 4 * 48 = 192.

Шаг 4: Находим полную площадь поверхности.

Полная площадь поверхности (S_полная) пирамиды равна сумме площади основания и площади боковых граней:

• S_полная = S_осн + S_бок_общ = 192 + 192 = 384.

Ответ: Площадь полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды равна 384.