Какова площадь поверхности пирамиды, основание которой представляет собой правильный треугольник ABC со стороной 16, если ребро DC перпендикулярно плоскости основания и угол между плоскостью основания и плоскостью ADC равен 60 градусов?

Геометрия 11 класс Площадь поверхности пирамиды площадь поверхности пирамиды правильный треугольник ABC сторона 16 ребро DC угол 60 градусов плоскость основания геометрия 11 класс Новый

Для нахождения площади поверхности пирамиды, основание которой представляет собой правильный треугольник ABC, нам нужно рассмотреть две составляющие: площадь основания и площадь боковых граней.

Шаг 1: Найдем площадь основания

Основание пирамиды — это правильный треугольник ABC со стороной 16. Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле:

Площадь = (a^2 * √3) / 4, где a — длина стороны треугольника.

Подставим значение:

Площадь = (16^2 * √3) / 4 = (256 * √3) / 4 = 64√3.

Шаг 2: Найдем высоту боковых граней

Ребро DC перпендикулярно плоскости основания, и угол между плоскостью основания и плоскостью ADC равен 60 градусов. Это означает, что треугольник ADC является прямоугольным, где угол ACD равен 60 градусов.

В этом треугольнике мы можем использовать соотношение для нахождения высоты DC:

• Согласно определению косинуса: cos(60) = AC / DC.
• Так как cos(60) = 0.5, мы имеем: 0.5 = AC / DC.
• Сторона AC равна 16 (это одна из сторон основания), поэтому: DC = 16 / 0.5 = 32.

Шаг 3: Найдем площадь боковых граней

Боковые грани пирамиды — это треугольники ADC, BDC и CDC. Все они равны, так как основание ABC является правильным треугольником. Мы можем найти площадь одной боковой грани, например, треугольника ADC.

Площадь треугольника вычисляется по формуле:

Площадь = (1/2) * основание * высота.

В нашем случае основание AC = 16, высота DC = 32:

Площадь треугольника ADC = (1/2) * 16 * 32 = 256.

Так как у нас три боковые грани, общая площадь боковых граней будет равна:

Площадь боковых граней = 3 * 256 = 768.

Шаг 4: Найдем общую площадь поверхности пирамиды

Общая площадь поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковых граней:

Общая площадь = Площадь основания + Площадь боковых граней = 64√3 + 768.

Таким образом, площадь поверхности пирамиды составляет:

64√3 + 768.