Какова площадь полной поверхности правильной усеченной четырехугольной пирамиды, если диагонали ее оснований равны 4√2 см и 10√2 см, а боковое ребро составляет 5 см?

Геометрия 11 класс Площадь полной поверхности усеченной пирамиды площадь полной поверхности правильная усечённая пирамида диагонали оснований боковое ребро геометрия 11 класс Новый

Чтобы найти площадь полной поверхности правильной усеченной четырехугольной пирамиды, нам нужно рассмотреть несколько шагов.

Шаг 1: Найдем площадь оснований.

У нас есть два основания: верхнее и нижнее. Они являются квадратами, так как речь идет о правильной усеченной пирамиде.

• Для верхнего основания: диагональ равна 4√2 см.
• Для нижнего основания: диагональ равна 10√2 см.

Площадь квадрата можно найти по формуле:

Площадь = (диагональ²) / 2.

Теперь подставим значения:

• Площадь верхнего основания: Площадь = (4√2)² / 2 = 32 / 2 = 16 см².
• Площадь нижнего основания: Площадь = (10√2)² / 2 = 200 / 2 = 100 см².

Шаг 2: Найдем площадь боковых граней.

Боковые грани правильной усеченной пирамиды являются трапециями. Чтобы найти площадь боковых граней, нужно знать высоту боковой грани.

Для этого воспользуемся свойствами треугольника, образованного боковым ребром и высотой усеченной пирамиды. Боковое ребро равно 5 см.

Шаг 3: Найдем высоту усеченной пирамиды.

Высота усеченной пирамиды может быть найдена с использованием теоремы Пифагора. Мы можем рассмотреть правый треугольник, где одна сторона — это половина разности оснований, а другая — высота.

• Половина разности оснований: (10 - 4) / 2 = 3 см.
• Обозначим высоту как h. Тогда по теореме Пифагора: h² + 3² = 5².

Решим это уравнение:

• h² + 9 = 25
• h² = 16
• h = 4 см.

Шаг 4: Найдем площадь боковых граней.

Площадь трапеции можно найти по формуле:

Площадь = (a + b) * h / 2, где a и b — основания трапеции.

• a = 4 см (верхнее основание),
• b = 10 см (нижнее основание),
• h = 4 см (высота).

Теперь подставим значения:

Площадь боковых граней = (4 + 10) * 4 / 2 = 14 * 4 / 2 = 28 см².

Шаг 5: Найдем полную площадь поверхности.

Теперь, чтобы найти полную площадь поверхности, сложим площади оснований и боковых граней:

• Площадь полной поверхности = площадь верхнего основания + площадь нижнего основания + площадь боковых граней.
• Площадь полной поверхности = 16 + 100 + 28 = 144 см².

Ответ: Площадь полной поверхности правильной усеченной четырехугольной пирамиды составляет 144 см².