Какова площадь сечения правильного тетраэдра DABC, если длина его ребра составляет 2 см, и сечение проходит через середину ребра DA, при этом оно параллельно плоскости DBC?

Геометрия 11 класс Площади сечений многогранников площадь сечения правильный тетраэдр длина ребра середина ребра параллельно плоскости геометрия 11 класс Новый

Для нахождения площади сечения правильного тетраэдра DABC, где длина ребра составляет 2 см, и сечение проходит через середину ребра DA, мы можем следовать следующим шагам:

1. Определение координат вершин тетраэдра:
   • Пусть вершина D находится в точке (0, 0, 0).
   • Вершина A будет в точке (2, 0, 0).
   • Вершина B будет в точке (1, 1, sqrt(3)).
   • Вершина C будет в точке (1, -1, sqrt(3)).
2. Определение середины ребра DA:
   • Середина ребра DA будет находиться в точке M(1, 0, 0), так как M = (0 + 2)/2, (0 + 0)/2, (0 + 0)/2.
3. Определение плоскости DBC:
   • Плоскость DBC можно задать уравнением, используя векторы DB и DC.
   • Вектор DB = (1 - 0, 1 - 0, sqrt(3) - 0) = (1, 1, sqrt(3)).
   • Вектор DC = (1 - 0, -1 - 0, sqrt(3) - 0) = (1, -1, sqrt(3)).
   • Найдём нормальный вектор к плоскости DBC, используя векторное произведение DB и DC.
4. Определение нормального вектора:
   • Нормальный вектор N = DB × DC = |i j k|
   • Вычисляем определитель: N = (1*sqrt(3) - (-1)*sqrt(3), 0 - 0, 1*(-1) - 1*1) = (2sqrt(3), 0, -2).
5. Определение уравнения плоскости DBC:
   • Уравнение плоскости будет выглядеть так: 2sqrt(3)x + 0y - 2z = 0.
6. Определение сечения через M:
   • Сечение, проходящее через M(1, 0, 0) и параллельное плоскости DBC, будет находиться на расстоянии от плоскости DBC.
   • Сечение будет параллельно и иметь ту же форму, что и треугольник DBC, но в меньшем масштабе.
7. Нахождение площади сечения:
   • Площадь треугольника DBC можно найти по формуле: P = (1/2) * основание * высота.
   • Основание DB = 2 см, высота = sqrt(3) см (расстояние от D до BC).
   • Площадь треугольника DBC = (1/2) * 2 * sqrt(3) = sqrt(3) см².
   • Площадь сечения будет равна половине площади треугольника DBC, так как оно проходит через середину ребра DA.
   • Таким образом, площадь сечения = (1/2) * sqrt(3) = sqrt(3)/2 см².

Итак, окончательно, площадь сечения правильного тетраэдра DABC равна sqrt(3)/2 см².