Какова проекция точки S на плоскость, заданную точками A, B и C, если координаты этих точек следующие: A(4, 5, 1), B(2, 4, 1), C(6, -2, 1) и S(8, 1, 0)?

Геометрия 11 класс Проекции точек в пространстве проекция точки плоскость координаты точек геометрия 11 класс задача по геометрии Новый

Для нахождения проекции точки S на плоскость, заданную тремя точками A, B и C, необходимо выполнить несколько шагов. Рассмотрим их подробнее.

Шаг 1: Определение векторов на плоскости

Сначала мы найдем два вектора, которые лежат в плоскости ABC. Эти векторы можно получить, вычитая координаты точек:

• Вектор AB = B - A = (2 - 4, 4 - 5, 1 - 1) = (-2, -1, 0).
• Вектор AC = C - A = (6 - 4, -2 - 5, 1 - 1) = (2, -7, 0).

Шаг 2: Нахождение нормали к плоскости

Для нахождения нормали к плоскости ABC, мы воспользуемся векторным произведением векторов AB и AC:

• n = AB × AC.

Вычислим компоненты векторного произведения:

• n_x = (-2) * 0 - 0 * (-7) = 0.
• n_y = 0 * 2 - 0 * (-2) = 0.
• n_z = (-2) * (-7) - (-1) * 2 = 14 + 2 = 16.

Таким образом, нормальный вектор n = (0, 0, 16).

Шаг 3: Уравнение плоскости

Плоскость, проходящая через точку A и имеющая нормальный вектор n, описывается уравнением:

(x - x_A) * n_x + (y - y_A) * n_y + (z - z_A) * n_z = 0.

Подставим координаты точки A и компоненты нормального вектора:

(x - 4) * 0 + (y - 5) * 0 + (z - 1) * 16 = 0.

Это уравнение упрощается до:

z = 1.

Шаг 4: Нахождение проекции точки S

Теперь мы можем найти проекцию точки S(8, 1, 0) на плоскость z = 1. Проекция будет иметь те же координаты x и y, что и точка S, но координата z будет равна 1:

Проекция S' = (8, 1, 1).

Заключение

Таким образом, проекция точки S на плоскость, заданную точками A, B и C, равна S'(8, 1, 1).