Какова высота правильной четырехугольной пирамиды, если все её рёбра равны 8 корень из 2?

Геометрия 11 класс Высота пирамиды высота правильной четырехугольной пирамиды рёбра равны 8 корень из 2 геометрия 11 класс Новый

Чтобы найти высоту правильной четырехугольной пирамиды, у которой все рёбра равны 8 корень из 2, давайте сначала разберемся с её структурой и необходимыми формулами.

Правильная четырехугольная пирамида имеет квадратное основание и четыре равные боковые грани, которые являются равнобедренными треугольниками. Обозначим:

• а - длина стороны основания (квадрата),
• h - высота пирамиды,
• l - длина ребра пирамиды (от вершины до вершины основания).

В нашем случае длина всех рёбер равна 8 корень из 2, то есть:

• l = 8√2.

Сначала найдем длину стороны основания (а). В правильной четырехугольной пирамиде высота боковой грани (h_b) и радиус основания (r) связаны с длиной ребра следующим образом:

Сначала найдем радиус вписанной окружности в квадратное основание:

• r = a/2.

Теперь используя теорему Пифагора для треугольника, образованного высотой пирамиды (h), радиусом основания (r) и длиной ребра (l), мы можем записать:

l^2 = h^2 + r^2.

Подставим известные значения:

• (8√2)^2 = h^2 + (a/2)^2.

Теперь вычислим (8√2)^2:

• 64 * 2 = 128.

Теперь у нас есть уравнение:

• 128 = h^2 + (a/2)^2.

Теперь нам нужно выразить а через l. В правильной пирамиде все боковые грани равны, и мы можем выразить длину стороны основания через длину ребра:

• a = √(l^2 - h^2) * 2.

Теперь подставим это в уравнение:

• 128 = h^2 + (a/2)^2.

Для нахождения h, мы можем использовать еще одно свойство правильной четырехугольной пирамиды:

• h = √(l^2 - (a/2)^2).

Теперь подставим значение a и l в это уравнение:

Сначала найдем a:

• a = l/√2 = 8√2/√2 = 8.

Теперь подставим a в уравнение для h:

• h = √(l^2 - (a/2)^2) = √((8√2)^2 - (8/2)^2) = √(128 - 16) = √112 = 4√7.

Таким образом, высота правильной четырехугольной пирамиды составляет:

4√7.