Давайте по порядку решим каждую из предложенных задач по геометрии.

Задача 1: Все боковые ребра правильной треугольной пирамиды образуют угол 60° с основанием, а длина бокового ребра равна 12 см. Какова общая площадь поверхности пирамиды?

1. Сначала найдем высоту боковой грани. Угол 60° и длина бокового ребра 12 см позволяют использовать тригонометрию. Высота боковой грани будет равна:
   • h = 12 * sin(60°) = 12 * (√3/2) = 6√3 см.
2. Теперь найдем радиус основания треугольника. Для правильного треугольника:
   • r = (a * √3) / 3, где a - сторона основания. Мы можем найти a через высоту:
   • h = 12 * cos(60°) = 12 * 0.5 = 6 см.
   • Сторона основания a = 2 * (h / √3) = 2 * (6 / √3) = 4√3 см.
3. Теперь можем найти площадь основания:
   • Площадь треугольника = (√3 / 4) * a² = (√3 / 4) * (4√3)² = 12√3 см².
4. Площадь боковых граней (3 треугольника):
   • Площадь одной боковой грани = (1/2) * a * h = (1/2) * 4√3 * 6√3 = 36 см².
   • Общая площадь боковых граней = 3 * 36 = 108 см².
5. Общая площадь поверхности пирамиды = площадь основания + площадь боковых граней = 12√3 + 108 см².

Задача 2: Конус с углом поперечного сечения 60° был превращен в сферу радиусом 6 см. Какова разница между объемом сферы и объемом конуса?

1. Объем сферы Vсфера = (4/3) * π * r³ = (4/3) * π * 6³ = 288π см³.
2. Для конуса найдем радиус основания. Угол 60° и высота h:
   • r = h * tan(60°). Высота конуса равна 6 см, r = 6 * √3 см.
   • Объем конуса Vконус = (1/3) * π * r² * h = (1/3) * π * (6√3)² * 6 = 72√3π см³.
3. Разница между объемами: Vсфера - Vконус = 288π - 72√3π см³.

Задача 3: Высота правильной шестиугольной пирамиды равна 3 дм, а боковая грань образует угол 30° с основанием. Каков объем пирамиды?

1. Найдём радиус основания. Угол 30°:
   • r = h * tan(30°) = 3 * (1/√3) = √3 дм.
2. Площадь основания (правильный шестиугольник):
   • Площадь = (3√3/2) * r² = (3√3/2) * (√3)² = 4,5 дм².
3. Объем = (1/3) * площадь основания * высота = (1/3) * 4,5 * 3 = 4,5 дм³.

Задача 4: Радиус цилиндра равен 8 мм, а высота — 15 см. Радиус конуса равен 12 см, а его высота составляет 5/3 от высоты цилиндра. Каково отношение объема цилиндра к объему конуса?

1. Объем цилиндра Vцил = π * r² * h = π * (8)² * 15 = 960π мм³.
2. Высота конуса hконус = (5/3) * 15 см = 25 см. Объем конуса Vконус = (1/3) * π * r² * h = (1/3) * π * (12)² * 25 = 1200π см³.
3. Отношение объемов = Vцил / Vконус = 960π / 1200π = 0.8.

Задача 5: Сфера пересечена плоскостью, расположенной на расстоянии 5 дм от центра сферы. Какова площадь сферы, если площадь описанной окружности равна 150 дм?

1. Площадь описанной окружности S = πr² = 150 дм. Найдем радиус r:
   • r² = 150/π, r = √(150/π).
2. Площадь поверхности сферы = 4πR². Найдем радиус сферы R:
   • R = √(r² + 5²) = √(150/π + 25).
3. Подставив R, найдем площадь поверхности сферы.

Таким образом, мы рассмотрели все задачи и нашли решения. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!