Какой радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если периметр этого треугольника составляет 12 корней из 3?

Геометрия 11 класс Вписанная окружность в треугольник радиус окружности вписанный треугольник прямоугольный треугольник периметр треугольника задача по геометрии Новый

Для нахождения радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно воспользоваться формулой:

r = S / p

где:

• r - радиус вписанной окружности;
• S - площадь треугольника;
• p - полупериметр треугольника.

1. Сначала найдем полупериметр треугольника. Полупериметр p равен половине периметра:

p = P / 2

В нашем случае периметр P равен 12 корней из 3:

p = (12√3) / 2 = 6√3

2. Теперь, чтобы найти радиус вписанной окружности, нам нужна площадь треугольника S. Для прямоугольного треугольника можно использовать формулу:

S = (a * b) / 2

где a и b - катеты треугольника. Однако, в данной задаче мы не знаем значения катетов, но можем выразить их через полупериметр:

Для прямоугольного треугольника, если обозначить катеты как a и b, а гипотенузу как c, то:

c = √(a² + b²)

И также:

P = a + b + c

3. Теперь, используя известные нам значения, мы можем выразить площадь через полупериметр:

S = r * p

Подставляем значения:

S = r * 6√3

4. Теперь вернемся к радиусу:

r = S / p

Но мы знаем, что площадь S также можно выразить через радиус и полупериметр. В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен:

r = (a + b - c) / 2

5. Но поскольку мы не знаем катеты, давайте воспользуемся тем, что для прямоугольного треугольника с известным периметром:

r = (P / 2) / 2 = P / 4

6. Подставляем значение периметра:

r = (12√3) / 4 = 3√3

Таким образом, радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, составляет 3√3.