Какой радиус шара, если секущая плоскость, проведенная перпендикулярно радиусу, делит его в отношении 3:1 от центра, а площадь сечения равна 112пи см^2?

Геометрия 11 класс Сечения и проекции в пространстве радиус шара секущая плоскость перпендикулярно радиусу отношение 3:1 площадь сечения 112пи см^2 геометрия 11 класс Новый

Чтобы найти радиус шара, давайте разберемся с условиями задачи. У нас есть секущая плоскость, которая делит радиус в отношении 3:1 от центра. Это значит, что радиус делится на две части: одна часть равна 3x, а другая - x, где x - это часть, которая ближе к поверхности шара.

Сначала найдем длину радиуса шара. Поскольку радиус делится в отношении 3:1, мы можем записать:

• Длина радиуса (R) = 3x + x = 4x

Теперь мы знаем, что секущая плоскость перпендикулярна радиусу, и площадь сечения равна 112π см². Площадь сечения шара, проведенного плоскостью, представляет собой круг с радиусом, равным радиусу сечения (r).

Площадь круга вычисляется по формуле:

• A = πr²

Где A - площадь круга, r - радиус сечения. Подставим известное значение площади:

• 112π = πr²

Теперь можем сократить π с обеих сторон уравнения:

• 112 = r²

Теперь найдем r:

• r = √112 = √(16 * 7) = 4√7 см

Теперь мы можем использовать соотношение между радиусом шара (R) и радиусом сечения (r). Поскольку секущая плоскость перпендикулярна радиусу, мы можем использовать теорему Пифагора. У нас есть:

• R² = (3x)² + r²

Заменим r на 4√7:

• R² = (3x)² + (4√7)²
• R² = 9x² + 16 * 7
• R² = 9x² + 112

Теперь вспомним, что R = 4x, тогда:

• (4x)² = 9x² + 112

Раскроем скобки:

• 16x² = 9x² + 112

Теперь перенесем 9x² влево:

• 16x² - 9x² = 112
• 7x² = 112

Теперь найдем x²:

• x² = 112 / 7 = 16

Теперь найдем x:

• x = √16 = 4 см

Теперь можем найти R:

• R = 4x = 4 * 4 = 16 см

Ответ: Радиус шара равен 16 см.